Упр.854 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, где $$BC \parallel AD$$. Пусть $$K$$ и $$M$$ — середины оснований $$BC$$ и $$AD$$, $$N$$ — точка пересечения диагоналей, а $$L$$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $$AB$$ и $$DC$$.

Проведём отрезок $$LM$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то в треугольнике $$LAD$$ прямая, проходящая через середину стороны $$AD$$ и параллельная стороне $$LA$$, пересекает сторону $$LD$$ в её середине. Значит, $$K$$ — середина $$BC$$ — лежит на медиане $$LM$$, то есть точки $$L, K, M$$ коллинеарны.

Теперь рассмотрим треугольники $$BLC$$ и $$ALD$$. У них

$$\angle CBL=\angle DAB,\qquad \angle BCL=\angle ADC,$$

как соответственные углы при параллельных прямых $$BC \parallel AD$$. Следовательно,

$$\triangle BLC \sim \triangle ALD.$$

Из подобия получаем

$$\frac{AL}{BL}=\frac{AD}{BC}.$$

Рассмотрим теперь треугольники $$KNC$$ и $$ANM$$. У них

$$\angle KNC=\angle ANM,$$

как вертикальные, и

$$\angle KCN=\angle AMN,$$

как накрест лежащие при параллельных прямых $$BC \parallel AD$$. Значит,

$$\triangle KNC \sim \triangle ANM,$$

откуда

$$\frac{CN}{AN}=\frac{KC}{AM}.$$

Так как $$K$$ — середина $$BC$$, то $$BK=KC$$. Тогда

$$\frac{AL}{BL}\cdot \frac{BK}{CK}\cdot \frac{CN}{AN} = \frac{AL}{BL}\cdot \frac{KC}{CK}\cdot \frac{KC}{AM} = \frac{AL}{BL}\cdot \frac{CN}{AN} = \frac{AD}{BC}\cdot \frac{BC}{AD} =1.$$

По теореме Менелая для треугольника с вершинами $$L, A, D$$ точки $$K, N, M$$ лежат на одной прямой. Но ранее было установлено, что $$K$$ и $$M$$ лежат на прямой $$LM$$. Следовательно, точки $$L, K, N, M$$ принадлежат одной прямой.

Ответ: точки $$L, K, M, N$$ лежат на одной прямой.