Упр.852 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Биссектрисы внешних углов А, В и С треугольника АВС пересекают продолжения противоположных сторон в точках A_1, B_1 и C_1. Докажите, что точки A_1, B_1 и C_1 лежат на одной прямой. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 atan10_11 new/852 106

Подробный ответ

По задаче 837 для биссектрисы внешнего угла треугольника получаем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB}{AC}, \qquad \frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{BC}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{BC}{AB}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} =\frac{AC}{BC}\cdot \frac{AB}{AC}\cdot \frac{BC}{AB}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

По теореме Менелая это означает, что точки $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.