Упр.852 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Биссектрисы внешних углов $$A$$, $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ пересекают продолжения противоположных сторон в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Докажите, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Подробный ответ

По доказанному в задаче 837 для биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$ имеем

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB}{AC}.$$

Аналогично для биссектрис внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ получаем

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{BC}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{BC}{AB}.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{AB}{AC}\cdot \frac{AC}{BC}\cdot \frac{BC}{AB} =1.$$

Следовательно,

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

По теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ это означает, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.