Упр.851 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки AA_1 и BB_1 — биссектрисы треугольника АВС, луч CC_1 — биссектриса его внешнего угла, причём точка C_1 лежит на прямой АВ. Докажите, что точки A_1, B_1 и C_1 лежат на одной прямой.

По свойству биссектрисы в треугольнике имеем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB}{AC}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{CB}{AB}.$$

Так как луч $$CC_1$$ — биссектриса внешнего угла треугольника $$ABC$$, то по свойству биссектрисы внешнего угла:

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{CB}.$$

Перемножим полученные равенства:

$$ \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}\cdot \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AB}{AC}\cdot \frac{CB}{AB}\cdot \frac{AC}{CB} =1. $$

Следовательно, по теореме Менелая точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.