Упр.850 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

а) a+b=4R sin(A+B)/2 cos|A-B|/2; б) |a-b|=4R cos(A+B)/2 sin|A-B|/2;
в) |a-b|/(a+b)=tg(1/2|A-B|)/tg(1/2(A+B)); г) (a^2-b^2)/c=a cos(B)-b cos(A);
д) a+b+c=8R cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2);
е) cos^2(A)=sin^2(B)+cos^2(C)-2sin(A)sin(B)cos(C);
ж) r=4R sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2); з) r=a sin(B/2) sin(C/2)/cos(A/2);
и) AH=a/(4S) (b^2+c^2-a^2); к) OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2; л) DM=|b^2-c^2|/(2a).

Обозначим стороны треугольника так: $$a=BC,\; b=CA,\; c=AB.$$ Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной, $$S$$ — площадь треугольника.

а) По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R,$$

откуда

$$a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B.$$

Тогда

$$ a+b=2R(\sin A+\sin B)=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}. $$

б) Аналогично:

$$ |a-b|=2R|\sin A-\sin B|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}. $$

в) Делим равенство из пункта б) на равенство из пункта а):

$$ \frac{|a-b|}{a+b} = \frac{4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}}{4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}} = \frac{\tg\frac{|A-B|}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}}. $$

г) По теореме косинусов:

$$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,\qquad a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. $$

Вычитая, получаем

$$ a^2-b^2=c(a\cos B-b\cos A), $$

то есть

$$ \frac{a^2-b^2}{c}=a\cos B-b\cos A. $$

д) Используем формулу $$a=2R\sin A$$ и аналогичные:

$$ a+b+c=2R(\sin A+\sin B+\sin C). $$

Так как $$A+B+C=\pi,$$ то

$$ \sin A+\sin B+\sin C = 4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2. $$

Следовательно,

$$ a+b+c=8R\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2. $$

е) Так как $$C=\pi-A-B,$$ то $$\cos C=-\cos(A+B).$$ Тогда

$$ \sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C = \sin^2 B+\cos^2(A+B)+2\sin A\sin B\cos(A+B). $$

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем

$$ \sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C=\cos^2 A. $$

ж) Из формулы площади:

$$ S=pr, $$

где $$p=\frac{a+b+c}{2}.$$ С другой стороны,

$$ S=\frac{abc}{4R}. $$

Тогда

$$ r=\frac{S}{p}=\frac{abc}{4R}\cdot\frac{2}{a+b+c}. $$

Подставляя $$a=2R\sin A,\; b=2R\sin B,\; c=2R\sin C$$ и пользуясь пунктом д), получаем

$$ r=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2. $$

з) Из пункта ж) и формулы $$a=2R\sin A=4R\sin\frac A2\cos\frac A2$$ имеем

$$ r=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2 = a\cdot \frac{\sin\frac B2\sin\frac C2}{\cos\frac A2}. $$

Значит,

$$ r=\frac{a\sin\frac B2\sin\frac C2}{\cos\frac A2}. $$

и) Пусть $$H$$ — ортоцентр. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AHC$$:

$$ AH=\frac{AC}{\cos\angle HAC}. $$

Из известных соотношений для ортоцентра получаем

$$ AH=\frac{b\cos A}{\sin B}. $$

По теореме косинусов

$$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. $$

Следовательно,

$$ AH=\frac{b}{\sin B}\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4S}, $$

так как $$S=\frac12 ac\sin B.$$

к) Для ортоцентра $$H$$ известно:

$$ OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2. $$

Это следует из выражения $$OH^2=R^2+4R^2\cos A\cos B\cos C$$ и тождества

$$ \cos A\cos B\cos C=\frac{a^2+b^2+c^2}{8R^2}-1. $$

л) Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда

$$ DM=\frac{|BD-BM|}{1}. $$

Из теоремы косинусов в треугольнике с высотой получаем

$$ BD=c\cos B,\qquad BM=\frac a2. $$

Так как $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$ то

$$ DM=\left|\frac a2-c\cos B\right| =\frac{|b^2-c^2|}{2a}. $$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } a+b=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2};\\ &\text{б) } |a-b|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2};\\ &\text{в) } \frac{|a-b|}{a+b}=\frac{\tg\frac{|A-B|}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}};\\ &\text{г) } \frac{a^2-b^2}{c}=a\cos B-b\cos A;\\ &\text{д) } a+b+c=8R\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2;\\ &\text{е) } \cos^2 A=\sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C;\\ &\text{ж) } r=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2;\\ &\text{з) } r=\frac{a\sin\frac B2\sin\frac C2}{\cos\frac A2};\\ &\text{и) } AH=\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4S};\\ &\text{к) } OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2;\\ &\text{л) } DM=\frac{|b^2-c^2|}{2a}. \end{aligned} $$