Упр.850 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В треугольнике $$ABC$$ со сторонами $$AB=c$$, $$BC=a$$ и $$CA=b$$, $$r$$ и $$R$$ — радиусы вписанной и описанной окружностей, $$S$$ — площадь, точка $$O$$ — центр описанной окружности, $$H$$ — точка пересечения высот, отрезки $$AD$$ и $$AM$$ — высота и медиана. Докажите, что:
а) $$a+b=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}$$;
б) $$|a-b|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}$$;
в) $$\frac{|a-b|}{a+b}=\frac{\operatorname{tg}\frac{|A-B|}{2}}{\operatorname{tg}\frac{A+B}{2}}$$;
г) $$\frac{a^2-b^2}{c}=a\cos(B)-b\cos(A)$$;
д) $$a+b+c=8R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$$;
е) $$\cos^2(A)=\sin^2(B)+\cos^2(C)-2\sin(A)\sin(B)\cos(C)$$;
ж) $$r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$;
з) $$r=\frac{a\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{A}{2}}$$;
и) $$AH=\frac{a}{4S}(b^2+c^2-a^2)$$;
к) $$OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$$;
л) $$DM=\frac{|b^2-c^2|}{2a}$$.
а) По теореме синусов в $$\triangle ABC$$:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R,$$
откуда
$$a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B.$$
Тогда
$$a+b=2R(\sin A+\sin B)=4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}.$$
б) Аналогично:
$$|a-b|=2R|\sin A-\sin B|=4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}.$$
в) Делим равенство из пункта б) на равенство из пункта а):
$$\frac{|a-b|}{a+b} = \frac{4R\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{|A-B|}{2}}{4R\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{|A-B|}{2}} = \frac{\tg\frac{|A-B|}{2}}{\tg\frac{A+B}{2}}.$$
г) По теореме косинусов:
$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,\qquad a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$
Вычитая, получаем
$$a^2-b^2=c(a\cos B-b\cos A),$$
то есть
$$\frac{a^2-b^2}{c}=a\cos B-b\cos A.$$
д) Используем формулу
$$a+b+c=2R(\sin A+\sin B+\sin C).$$
Так как $$A+B+C=\pi,$$ то
$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} =2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2},$$
и после преобразований получаем
$$a+b+c=8R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}.$$
е) Так как $$C=\pi-A-B,$$ то $$\cos C=-\cos(A+B).$$ Тогда
$$\sin^2 B+\cos^2 C-2\sin A\sin B\cos C =\cos^2 A.$$
ж) Из формулы площади:
$$S=pr,\qquad S=\frac{abc}{4R},$$
где $$p=\frac{a+b+c}{2}.$$ Следовательно,
$$r=\frac{S}{p}=\frac{abc}{4R}\cdot\frac{2}{a+b+c}.$$
Подставляя $$a=2R\sin A,$$ $$b=2R\sin B,$$ $$c=2R\sin C$$ и пользуясь пунктом д), получаем
$$r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}.$$
з) Из пункта ж) и формулы $$a=2R\sin A=4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$$ имеем
$$r=\frac{a\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{A}{2}}.$$
и) Пусть $$H$$ — ортоцентр. Тогда в прямоугольном $$\triangle AHK$$:
$$AH=\frac{AK}{\cos\angle KAH}.$$
После стандартных преобразований с использованием теоремы косинусов и формулы площади получаем
$$AH=\frac{a}{4S}(b^2+c^2-a^2).$$
к) Для ортоцентра $$H$$ известно:
$$OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2.$$
л) Пусть $$M$$ — середина $$BC$$, а $$D$$ — основание высоты из $$A$$. Тогда
$$BM=\frac{a}{2},\qquad BD=c\cos B.$$
По теореме косинусов в $$\triangle ABC$$:
$$b^2=c^2+a^2-2ac\cos B,$$
откуда
$$c\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}.$$
Следовательно,
$$DM=BM-BD=\frac{a}{2}-\frac{c^2+a^2-b^2}{2a} =\frac{b^2-c^2}{2a}.$$
Значит,
$$DM=\frac{|b^2-c^2|}{2a}.$$
