Упр.85 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью $$BKL$$, где точка $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а точка $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Проведём диагональ $$BD$$ основания параллелепипеда и рассмотрим плоскость $$BKL$$. Соединим точки $$K$$ и $$L$$ с вершинами $$D_1$$ и $$D_1$$ соответственно так, чтобы получить четырёхугольник $$BKLD_1$$.

Так как $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то его противоположные рёбра параллельны и равны:

$$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1,$$

а также $$AD\parallel BC,\quad AB\parallel CD.$$

Поскольку $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$, то

$$AK=KA_1,\qquad CL=LC_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle D_1AK$$ и $$\triangle CBL$$. У них

$$D_1A=CB,\qquad AK=CL,$$

следовательно, $$\triangle D_1AK \cong \triangle CBL$$ по двум катетам. Отсюда

$$D_1K=BL.$$

Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle D_1CL$$ и $$\triangle KAB$$. Имеем

$$D_1C=AB,\qquad CL=AK,$$

значит, $$\triangle D_1CL \cong \triangle KAB$$ по двум катетам. Тогда

$$D_1L=KB.$$

Итак, в четырёхугольнике $$BKLD_1$$ противоположные стороны попарно равны:

$$BK=D_1L,\qquad BL=KD_1.$$

Следовательно, $$BKLD_1$$ — параллелограмм.

Ответ: сечение $$BKLD_1$$ — параллелограмм.