Упр.85 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где точка K — середина ребра AA1, а точка L — середина ребра CC1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
Пусть плоскость $$BKL$$ пересекает ребро $$D_1C_1$$ в точке $$L$$, а ребро $$A_1D_1$$ — в точке $$K$$. Тогда сечение параллелепипеда плоскостью $$BKL$$ имеет вид четырёхугольника $$BKLD_1$$.
Докажем, что $$BKLD_1$$ — параллелограмм.
Так как $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то его противоположные рёбра параллельны и равны:
$$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1,$$
а также $$A_1D_1 \parallel BC$$ и $$A_1D_1=BC$$.
По условию $$K$$ — середина ребра $$AA_1$$, а $$L$$ — середина ребра $$CC_1$$, значит
$$KA_1=KA,\qquad LC=LC_1.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle A_1D_1K$$ и $$\triangle C L B$$. У них
$$A_1D_1 \parallel CB,\qquad A_1K \parallel CL,$$
следовательно, соответствующие углы равны, а также
$$A_1D_1=CB,\qquad A_1K=CL.$$
Значит, $$\triangle A_1D_1K \cong \triangle C L B$$ по двум катетам. Отсюда
$$D_1K=LB.$$
Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle D_1C_1L$$ и $$\triangle KAB$$. Имеем
$$D_1C_1 \parallel AB,\qquad C_1L \parallel AK,$$
поэтому
$$D_1C_1=AB,\qquad C_1L=AK.$$
Следовательно, $$\triangle D_1C_1L \cong \triangle KAB$$ по двум катетам, откуда
$$KB=D_1L.$$
Итак, в четырёхугольнике $$BKLD_1$$ обе пары противоположных сторон равны:
$$BK=D_1L,\qquad KB= D_1L,\qquad LB=D_1K.$$
Следовательно, $$BK \parallel D_1L$$ и $$KB \parallel D_1L$$, а значит, четырёхугольник $$BKLD_1$$ — параллелограмм.
Ответ
Сечение $$BKLD_1$$ — параллелограмм.