Упр.849 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезки AD, AH и АМ — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC, вписанная в треугольник окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что $$MK^2=MD\cdot MH$$.

Обозначим стороны треугольника $$ABC$$ так: $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$CA=b.$$ Пусть вписанная окружность касается стороны $$BC$$ в точке $$K$$.

Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$BK=BK_1,\quad CK=CK_2,\quad AK_1=AK_2.$$

Сумма этих отрезков равна полупериметру треугольника:

$$BK+CK+AK_1=\frac{a+b+c}{2}=p,$$

откуда

$$CK=p-c=\frac{a+b-c}{2}.$$

Так как $$AM$$ — медиана, то

$$BM=MC=\frac{a}{2}.$$

Следовательно,

$$MK=CK-MC=\frac{a+b-c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b-c}{2}.$$

По свойству биссектрисы треугольника

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD},$$

то есть

$$\frac{c}{BD}=\frac{b}{a-BD}.$$

Отсюда

$$b\cdot BD=c(a-BD),$$

$$(b+c)BD=ac,$$

$$BD=\frac{ac}{b+c}.$$

Тогда

$$CD=BC-BD=a-\frac{ac}{b+c}=\frac{ab}{b+c},$$

и потому

$$MD=CD-MC=\frac{ab}{b+c}-\frac{a}{2}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}.$$

Найдём $$MH$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем

$$CH^2=AC^2-AH^2=b^2-AH^2,$$

а в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$BH^2=AB^2-AH^2=c^2-AH^2.$$

Вычитая, получаем

$$CH^2-BH^2=b^2-c^2.$$

Так как $$CH+BH=BC=a,$$ то

$$(CH-BH)(CH+BH)=b^2-c^2,$$

$$a(CH-BH)=b^2-c^2,$$

$$CH-BH=\frac{b^2-c^2}{a}.$$

Но $$MH=CH-MC$$, значит

$$MH=\frac{CH-BH}{2}=\frac{b^2-c^2}{2a}.$$

Теперь перемножим найденные выражения:

$$MH\cdot MD=\frac{b^2-c^2}{2a}\cdot \frac{a(b-c)}{2(b+c)}=\frac{(b-c)(b+c)(b-c)}{4(b+c)}=\frac{(b-c)^2}{4}.$$

С другой стороны,

$$MK^2=\left(\frac{b-c}{2}\right)^2=\frac{(b-c)^2}{4}.$$

Следовательно,

$$MK^2=MD\cdot MH.$$

Ответ: $$MK^2=MD\cdot MH.$$