Упр.849 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки AD, AH и АМ — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC, вписанная в треугольник окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что MK^2=MD·MH. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 atan10_11 new/849 106
Обозначим стороны треугольника так: $$AB=c,\quad BC=a,\quad AC=b,\quad b>c.$$
Пусть вписанная окружность касается стороны $$BC$$ в точке $$K$$, а стороны $$AB$$ и $$AC$$ — в точках $$K_1$$ и $$K_2$$ соответственно. Тогда по свойству касательных из одной точки
$$BK=BK_1,\quad CK=CK_2,\quad AK_1=AK_2.$$
Полупериметр треугольника равен
$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$
Тогда
$$BK+CK+AK_1=p,$$
откуда
$$CK=p-(BK_1+AK_1)=p-c.$$
Так как $$AM$$ — медиана, то
$$BM=MC=\frac{a}{2}.$$
Следовательно,
$$MK=CK-MC=p-c-\frac{a}{2}=\frac{a+b+c}{2}-c-\frac{a}{2}=\frac{b-c}{2}.$$
По свойству биссектрисы треугольника
$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD},$$
то есть
$$\frac{c}{BD}=\frac{b}{a-BD}.$$
Отсюда
$$BD=\frac{ac}{b+c},$$
а значит
$$CD=BC-BD=a-\frac{ac}{b+c}=\frac{ab}{b+c}.$$
Тогда
$$MD=CD-MC=\frac{ab}{b+c}-\frac{a}{2}=\frac{a(b-c)}{2(b+c)}.$$
Найдём $$MH$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем
$$CH^2=AC^2-AH^2=b^2-c^2.$$
С другой стороны, в треугольнике $$ABC$$
$$2a\cdot CH=a^2+b^2-c^2,$$
поэтому
$$CH=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}.$$
Тогда
$$MH=CH-MC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}-\frac{a}{2}=\frac{b^2-c^2}{2a}.$$
Теперь перемножим найденные выражения:
$$ MH\cdot MD=\frac{b^2-c^2}{2a}\cdot \frac{a(b-c)}{2(b+c)} =\frac{(b-c)(b+c)}{2a}\cdot \frac{a(b-c)}{2(b+c)} =\frac{(b-c)^2}{4}. $$
Но
$$MK^2=\left(\frac{b-c}{2}\right)^2=\frac{(b-c)^2}{4}.$$
Следовательно,
$$MK^2=MD\cdot MH.$$
Ответ
$$MK^2=MD\cdot MH.$$