Упр.848 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что: а) площадь S четырёхугольника со сторонами a, b, с, d, описанного около окружности, выражается формулой S=v(abcd) sin(B+D)/2; б) если четырехугольник co сторонами a, b, c, d является одновременно описанным и вписанным, то его площадь S выражается формулой S=v(abcd). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 atan10_11 new/848 106
а) Пусть четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности. Тогда суммы противоположных сторон равны:
$$a+c=b+d.$$
Обозначим полупериметр через $$p$$. Тогда
$$p=\frac{a+b+c+d}{2}=a+c=b+d.$$
Из формулы для площади описанного четырёхугольника получаем:
$$ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}}. $$
Так как $$p=a+c=b+d$$, то
$$ p-a=c,\quad p-b=d,\quad p-c=a,\quad p-d=b. $$
Следовательно,
$$ S=\sqrt{cdab-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}} =\sqrt{abcd\left(1-\cos^2\frac{B+D}{2}\right)}. $$
По тождеству $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$ имеем:
$$ S=\sqrt{abcd}\,\sin\frac{B+D}{2}. $$
То есть
$$ S=\sqrt{abcd}\cdot \sin\frac{B+D}{2}. $$
б) Если четырёхугольник $$ABCD$$ одновременно описан около окружности и вписан в окружность, то
$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$
Тогда
$$ \sin\frac{B+D}{2}=\sin 90^\circ=1. $$
Подставляя это в формулу из пункта а), получаем:
$$ S=\sqrt{abcd}\cdot 1=\sqrt{abcd}. $$
Ответ
а) $$S=\sqrt{abcd}\cdot \sin\frac{B+D}{2}$$; б) $$S=\sqrt{abcd}$$.