Упр.846 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь $$S$$ выпуклого четырёхугольника со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ и полупериметром $$p$$ выражается формулой $$S=r_a(p-a)+r_c(p-c)$$, где $$r_a$$ и $$r_c$$ — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных $$a$$ и $$c$$ (рис. 218).

Обозначим точки касания вневписанных окружностей со сторонами четырёхугольника так, как на рисунке: для окружности радиуса $$r_a$$ — точки $$M$$ и $$N$$, для окружности радиуса $$r_c$$ — точки $$K$$ и $$L$$.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки, имеем:

$$AT=AM,\quad DT=DN,\quad BK=BQ,\quad CL=CQ.$$

Пусть $$AT=AM=k$$, тогда $$DT=DN=a-k$$. Аналогично, пусть $$BQ=BK=l$$, тогда $$CL=CQ=c-l$$.

Так как $$KM$$ и $$LN$$ — общие касательные к двум окружностям, то

$$KM=LN.$$

С другой стороны,

$$KM=AM+AB+BK=k+b+l,$$

$$LN=DN+DC+CL=(a-k)+d+(c-l).$$

Следовательно,

$$k+b+l=(a-k)+d+(c-l),$$

откуда

$$2k+2l=a-b+c+d,$$

то есть

$$k+l=\frac{a-b+c+d}{2}=p-b.$$

Теперь рассмотрим фигуру $$O_1MKO_2LN$$. Это прямоугольные трапеции, поэтому

$$S_{O_1MKO_2LN}=S_{O_1MKO_2}+S_{O_2LN}.$$

Но

$$S_{O_1MKO_2}=\frac12\cdot MK\cdot r_a,\qquad S_{O_2LN}=\frac12\cdot LN\cdot r_c.$$

Так как $$MK=LN=p$$, получаем

$$S_{O_1MKO_2LN}=\frac12\,p(r_a+r_c).$$

Площадь четырёхугольника $$ABCD$$ равна площади этой фигуры без двух треугольников $$O_1MADN$$ и $$BKO_2LC$$:

$$S_{ABCD}=S_{O_1MKO_2LN}-S_{O_1MADN}-S_{BKO_2LC}.$$

Найдём площади этих треугольников:

$$S_{O_1MADN}=r_a\cdot a,$$

$$S_{BKO_2LC}=r_c\cdot c.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=p(r_a+r_c)-r_a a-r_c c=r_a(p-a)+r_c(p-c).$$

Что и требовалось доказать.