Упр.845 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что:
а) площадь $$S$$ треугольника $$ABC$$ выражается формулой $$S=r_a(p-a)$$, где $$r_a$$ — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $$BC=a$$, $$p$$ — полупериметр треугольника;
б) $$S=\sqrt{rr_ar_br_c}$$, $$\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}$$, где $$r$$ — радиус окружности, вписанной в треугольник, $$r_a$$, $$r_b$$, $$r_c$$ — радиусы вневписанных окружностей.
Пусть $$O$$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $$BC=a$$ и продолжений сторон $$AB$$ и $$AC$$. Обозначим $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$.
а)
Пусть точки касания окружности с прямыми $$AB$$, $$AC$$ и $$BC$$ — это соответственно $$P$$, $$T$$ и $$H$$. Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$AP=AT,\quad BP=BH,\quad CH=CT.$$
Обозначим $$BP=BH=k$$. Тогда
$$AP=AB+BP=c+k,$$
$$AT=AC+CT=b+(a-k)=b+a-k.$$
Так как $$AP=AT$$, то
$$c+k=b+a-k,$$
откуда
$$2k=a+b-c,$$
$$k=\frac{a+b-c}{2}=p-c.$$
Тогда
$$AP=c+k=c+p-c=p,$$
а также
$$CH=CT=a-k=a-(p-c)=a-p+c.$$
Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$ как разность площадей треугольников, образованных касательными:
$$S_{AOT}=\frac12 r_a\cdot AP+\frac12 r_a\cdot AT=\frac12 r_a p+\frac12 r_a p=r_ap,$$
$$S_{BOC H}=S_{OBH}+S_{BOC}+S_{OHC}+S_{OCT}=r_a a.$$
Следовательно,
$$S_{ABC}=S_{AOT}-S_{BOCH}=r_ap-r_a a=r_a(p-a).$$
б)
Из пункта а) получаем:
$$S_{ABC}=r_a(p-a).$$
Аналогично, для других вневписанных окружностей:
$$S_{ABC}=r_b(p-b),\qquad S_{ABC}=r_c(p-c).$$
Кроме того, для вписанной окружности
$$S_{ABC}=pr,$$
так как $$S_{ABC}=\frac12\cdot 2p\cdot r=pr.$$
Тогда
$$p-a=\frac{S_{ABC}}{r_a},\qquad p-b=\frac{S_{ABC}}{r_b},\qquad p-c=\frac{S_{ABC}}{r_c},\qquad p=\frac{S_{ABC}}{r}.$$
По формуле Герона
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$
Подставим выражения для $$p$$, $$p-a$$, $$p-b$$ и $$p-c$$:
$$S_{ABC} =\sqrt{\frac{S_{ABC}}{r}\cdot \frac{S_{ABC}}{r_a}\cdot \frac{S_{ABC}}{r_b}\cdot \frac{S_{ABC}}{r_c}} =\sqrt{\frac{S_{ABC}^4}{rr_ar_br_c}}.$$
Отсюда
$$S_{ABC}=\sqrt{rr_ar_br_c}.$$
Теперь найдём сумму обратных радиусов:
$$\frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c} =\frac{p-a}{S_{ABC}}+\frac{p-b}{S_{ABC}}+\frac{p-c}{S_{ABC}} =\frac{3p-(a+b+c)}{S_{ABC}}.$$
Так как $$a+b+c=2p$$, то
$$\frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c} =\frac{3p-2p}{S_{ABC}} =\frac{p}{S_{ABC}} =\frac1r.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$S=r_a(p-a),\qquad S=\sqrt{rr_ar_br_c},\qquad \frac1{r_a}+\frac1{r_b}+\frac1{r_c}=\frac1r.$$
