Упр.844 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Окружность, вписанная в треугольник $$ABC$$, касается его сторон в точках $$L$$, $$M$$ и $$N$$. Докажите, что отношение площади треугольника $$LMN$$ к площади треугольника $$ABC$$ равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ касается сторон треугольника $$ABC$$ в точках $$L, M, N$$ соответственно.
Тогда $$OL=OM=ON=r$$. Рассмотрим треугольник $$LOM$$. Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, то угол между ними равен
$$\angle LOM=180^\circ-\angle A.$$
Следовательно,
$$S_{LOM}=\frac12\cdot OL\cdot OM\cdot \sin\angle LOM =\frac12 r^2\sin(180^\circ-\angle A) =\frac12 r^2\sin\angle A.$$
С другой стороны,
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle A.$$
Значит,
$$\frac{S_{LOM}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{AB\cdot AC}.$$
Аналогично получаем:
$$\frac{S_{MON}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{CA\cdot CB},\qquad \frac{S_{NOL}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{BA\cdot BC}.$$
Так как треугольник $$LMN$$ состоит из треугольников $$LOM$$, $$MON$$ и $$NOL$$, то
$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \frac{r^2}{AB\cdot AC} +\frac{r^2}{CA\cdot CB} +\frac{r^2}{BA\cdot BC}.$$
Вынесем $$r^2$$ и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = r^2\cdot \frac{AB+BC+CA}{AB\cdot BC\cdot CA}.$$
Но для треугольника с вписанной окружностью
$$S_{ABC}=pr,$$
где $$p=\frac{AB+BC+CA}{2}$$ — полупериметр. Кроме того, для треугольника $$ABC$$
$$S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R},$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности.
Тогда
$$AB+BC+CA=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{2Rr}.$$
Подставим это в найденное выражение:
$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = r^2\cdot \frac{1}{AB\cdot BC\cdot CA}\cdot \frac{AB\cdot BC\cdot CA}{2Rr} = \frac{r}{2R}.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{r}{2R}.$$
Ответ
$$\frac{S_{LMN}}{S_{ABC}}=\frac{r}{2R}$$
