Упр.844 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках L, М и N. Докажите, что отношение площади треугольника LMN к площади треугольника АВС равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника.

Подробный ответ

Пусть окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ вписана в треугольник $$ABC$$ и касается его сторон в точках $$L, M, N$$.

Тогда $$OL=OM=ON=r$$. Рассмотрим треугольники $$LOM$$, $$MON$$ и $$NOL$$.

Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника, то угол между двумя радиусами равен дополнительному к соответствующему углу треугольника. Поэтому

$$\angle LOM=180^\circ-\angle A,\qquad \angle MON=180^\circ-\angle B,\qquad \angle NOL=180^\circ-\angle C.$$

Найдём площади этих треугольников:

$$ S_{LOM}=\frac12\cdot OL\cdot OM\cdot \sin\angle LOM =\frac12 r^2\sin(180^\circ-\angle A) =\frac12 r^2\sin\angle A, $$

аналогично

$$ S_{MON}=\frac12 r^2\sin\angle B,\qquad S_{NOL}=\frac12 r^2\sin\angle C. $$

С другой стороны, для треугольника $$ABC$$ имеем

$$ S_{ABC}=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin\angle A =\frac12 BC\cdot BA\cdot \sin\angle B =\frac12 CA\cdot CB\cdot \sin\angle C. $$

Отсюда

$$ \frac{S_{LOM}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{AB\cdot AC},\qquad \frac{S_{MON}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{BC\cdot BA},\qquad \frac{S_{NOL}}{S_{ABC}}=\frac{r^2}{CA\cdot CB}. $$

Так как четырёхугольник $$LMON$$ разбивается на три треугольника $$LOM$$, $$MON$$ и $$NOL$$, то

$$ S_{LMN}=S_{LOM}+S_{MON}+S_{NOL}. $$

Удобнее воспользоваться известными формулами для треугольника:

$$ S_{ABC}=pr, $$
где $$p=\frac{AB+BC+CA}{2}$$ — полупериметр, и

$$ S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}, $$
где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Тогда

$$ S_{LMN} =\frac{r^2(AB+BC+CA)}{AB\cdot BC\cdot CA}\,S_{ABC}. $$

Подставим $$AB+BC+CA=2p$$ и $$S_{ABC}=pr$$:

$$ \frac{S_{LMN}}{S_{ABC}} =\frac{r^2(AB+BC+CA)}{AB\cdot BC\cdot CA} =\frac{2r^2p}{AB\cdot BC\cdot CA}. $$

Но из формулы $$S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}$$ получаем

$$ AB\cdot BC\cdot CA=4RS_{ABC}=4Rpr. $$

Следовательно,