Упр.843 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны $$9\ \text{см}$$, $$12\ \text{см}$$ и $$15\ \text{см}$$.

Обозначим через $$S_m$$ площадь треугольника, составленного из медиан данного треугольника. Тогда по формуле Герона для треугольника со сторонами $$9$$ см, $$12$$ см и $$15$$ см получаем:

$$p=\frac{9+12+15}{2}=18$$
$$S_m=\sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 6\cdot 3}=\sqrt{2916}=54$$

Из известного соотношения между площадью треугольника и площадью треугольника, построенного на его медианах, имеем:

$$S_m=\frac{3}{4}S_{ABC}$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac{4}{3}S_m=\frac{4}{3}\cdot 54=72$$

Ответ: $$72\ \text{см}^2$$.