Упр.842 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите площадь треугольника, если его высоты равны $$3\ \text{см}$$, $$4\ \text{см}$$ и $$6\ \text{см}$$.

Пусть стороны треугольника $$ABC$$ равны $$BC=a$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$, а высоты, опущенные на эти стороны, равны $$h_a=4$$ см, $$h_b=3$$ см, $$h_c=6$$ см.

Площадь треугольника можно выразить через любую из высот:

$$S_{ABC}=\frac12 ah_a=\frac12 bh_b=\frac12 ch_c.$$

Отсюда

$$4a=3b=6c.$$

Выразим стороны через $$a$$:

$$b=\frac43a,\qquad c=\frac23a.$$

Тогда полупериметр треугольника равен

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac12\left(a+\frac43a+\frac23a\right)=\frac{3a}{2}.$$

Найдём разности:

$$p-a=\frac{a}{2},\qquad p-b=\frac{3a}{2}-\frac43a=\frac{a}{6},\qquad p-c=\frac{3a}{2}-\frac23a=\frac{5a}{6}.$$

По формуле Герона:

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{\frac{3a}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{6}\cdot\frac{5a}{6}} =\frac{a^2\sqrt{15}}{12}.$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac12 ah_a=2a.$$

Приравниваем:

$$2a=\frac{a^2\sqrt{15}}{12}.$$

Так как $$a>0$$, получаем

$$a=\frac{24}{\sqrt{15}}.$$

Тогда

$$S_{ABC}=2a=2\cdot\frac{24}{\sqrt{15}}=\frac{48}{\sqrt{15}}=\frac{16\sqrt{15}}{5}\ \text{см}^2.$$

Ответ: $$\frac{16\sqrt{15}}{5}\ \text{см}^2$$.