Упр.841 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.
Обозначим точки пересечения медиан так: $$M=AL\cap CK,$$ а на продолжении медианы $$BN$$ за точку $$T$$ возьмём точку так, чтобы $$NT=MN.$$
Тогда рассмотрим треугольники $$\triangle ANM$$ и $$\triangle CNT.$$ Имеем:
$$MN=NT,$$
$$\angle ANM=\angle CNT$$ как вертикальные,
$$AN=NC$$, так как $$BN$$ — медиана.
Следовательно, $$\triangle ANM\cong \triangle CNT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AM=TC.$$
Так как точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то
$$BM=2MN,\qquad CM=2MK,\qquad AM=2ML.$$
Значит, в треугольнике $$CMT$$ стороны выражаются через медианы треугольника $$ABC$$ так:
$$CM=\frac{2}{3}CK,\qquad CT=\frac{2}{3}AL,\qquad MT=\frac{2}{3}BN.$$
Следовательно, из медиан треугольника $$ABC$$ можно построить треугольник, подобный $$\triangle CMT$$, с коэффициентом подобия $$\frac{3}{2}$$.
Теперь найдём отношение площадей. Так как $$CN$$ — медиана треугольника $$CMT$$, а $$MN=NT$$, то
$$S_{CMT}=2S_{CNM}.$$
Кроме того, $$BM=2MN$$, значит
$$S_{BMC}=2S_{CNM},$$
а поскольку $$BN$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то
$$S_{ABC}=2S_{BNC}=6S_{CNM}=3S_{CMT}.$$
Итак, площадь треугольника, построенного из медиан, относится к площади данного треугольника как
$$\frac{S}{S_{ABC}}=\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{S_{CMT}}{S_{ABC}}=\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}.$$
Ответ: $$3:4$$.
