Упр.840 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что площади треугольников ВАМ и ВСМ равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника АВС, проведённой из вершины В.

Подробный ответ

Пусть точка $$D$$ — точка пересечения прямой $$BM$$ с прямой $$AC$$.

1) Докажем, что если $$M$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой из вершины $$B$$, то $$S_{ABM}=S_{BCM}$$.

Если $$BD$$ — медиана, то $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$AD=DC$$.

Опустим из точки $$M$$ перпендикуляр $$MH$$ на прямую $$AC$$. Тогда высота у треугольников $$AMD$$ и $$CMD$$ одна и та же, поэтому

$$ S_{AMD}=\frac12 \cdot AD \cdot MH,\qquad S_{CMD}=\frac12 \cdot DC \cdot MH. $$

Так как $$AD=DC$$, то $$S_{AMD}=S_{CMD}$$.

Кроме того, треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ имеют общую высоту из вершины $$B$$ к прямой $$AC$$ и равные основания $$AD$$ и $$DC$$, значит

$$S_{ABD}=S_{CBD}.$$

Тогда

$$ S_{ABM}=S_{ABD}-S_{AMD},\qquad S_{BCM}=S_{CBD}-S_{CMD}. $$

Из равенств $$S_{ABD}=S_{CBD}$$ и $$S_{AMD}=S_{CMD}$$ получаем

$$S_{ABM}=S_{BCM}.$$

2) Докажем обратное: если $$S_{ABM}=S_{BCM}$$, то $$M$$ лежит на медиане из вершины $$B$$.

Обозначим $$\angle ABM=\alpha$$, $$\angle MBC=\beta$$. Тогда

$$ S_{ABM}=\frac12 \cdot AB \cdot BM \cdot \sin \alpha, $$

$$ S_{BCM}=\frac12 \cdot BC \cdot BM \cdot \sin \beta. $$

Из условия $$S_{ABM}=S_{BCM}$$ следует

$$AB\sin\alpha=BC\sin\beta.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. Для них

$$ S_{ABD}=\frac12 \cdot BD \cdot AB \cdot \sin \alpha, $$

$$ S_{CBD}=\frac12 \cdot BD \cdot BC \cdot \sin \beta. $$

Так как $$AB\sin\alpha=BC\sin\beta$$, то

$$S_{ABD}=S_{CBD}.$$

Но треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ имеют общую высоту из вершины $$B$$ к прямой $$AC$$, значит равенство их площадей возможно только при равенстве оснований:

$$AD=DC.$$

Следовательно, точка $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, а значит, $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Поскольку $$M$$ лежит на прямой $$BM$$, то точка $$M$$ лежит на этой медиане.