Упр.840 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Внутри треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$. Докажите, что площади треугольников $$BAM$$ и $$BCM$$ равны тогда и только тогда, когда точка $$M$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой из вершины $$B$$.

Пусть $$D=BM\cap AC.$$

Докажем сначала прямое утверждение. Если $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC,$$ то $$AD=DC.$$ Опустим перпендикуляр $$MH$$ на прямую $$AC.$$ Тогда высота треугольников $$AMD$$ и $$CMD$$ к основанию $$AC$$ одна и та же и равна $$MH,$$ поэтому

$$S_{AMD}=\frac12\cdot AD\cdot MH,\qquad S_{CMD}=\frac12\cdot DC\cdot MH.$$

Так как $$AD=DC,$$ то $$S_{AMD}=S_{CMD}.$$ Кроме того,

$$S_{ABM}=S_{ABD}-S_{AMD},\qquad S_{BCM}=S_{BCD}-S_{CMD}.$$

Но треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ имеют общую высоту из $$B$$ к прямой $$AC,$$ а их основания равны: $$AD=DC.$$ Значит, $$S_{ABD}=S_{BCD}.$$ Тогда

$$S_{ABM}=S_{ABD}-S_{AMD}=S_{BCD}-S_{CMD}=S_{BCM}.$$

Теперь докажем обратное. Пусть $$S_{ABM}=S_{BCM}.$$ Обозначим через $$\alpha=\angle ABM$$ и $$\beta=\angle MBC.$$ Тогда

$$S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot BM\cdot \sin\alpha,\qquad S_{BCM}=\frac12\cdot BC\cdot BM\cdot \sin\beta.$$

Из равенства площадей получаем

$$AB\sin\alpha=BC\sin\beta.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD.$$ Для них

$$S_{ABD}=\frac12\cdot BD\cdot AB\cdot \sin\alpha,\qquad S_{CBD}=\frac12\cdot BD\cdot BC\cdot \sin\beta.$$

С учётом равенства $$AB\sin\alpha=BC\sin\beta$$ имеем $$S_{ABD}=S_{CBD}.$$ Эти треугольники имеют общую высоту из $$B$$ к прямой $$AC,$$ значит, их основания равны:

$$AD=DC.$$

Следовательно, $$D$$ — середина отрезка $$AC,$$ а значит, $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC.$$ Так как $$M\in BD,$$ то точка $$M$$ лежит на медиане, проведённой из вершины $$B.$$

Итак, $$S_{ABM}=S_{BCM}$$ тогда и только тогда, когда $$M$$ лежит на медиане треугольника $$ABC,$$ проведённой из вершины $$B.$$