Упр.84 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $$B_1$$, $$D_1$$ и середину ребра $$CD$$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.
Пусть $$M$$ — середина ребра $$CD$$. Проведём через точку $$M$$ прямую $$MN$$, параллельную диагонали $$B_1D_1$$. Тогда точка $$N$$ лежит на ребре $$B_1C_1$$, а искомое сечение проходит через точки $$B_1, D_1, M, N$$.
Действительно, плоскость сечения пересекает грань $$CDD_1C_1$$ по прямой, проходящей через $$M$$ и параллельной $$D_1C_1$$, а грань $$ABB_1A_1$$ — по прямой, проходящей через $$B_1$$ и параллельной $$D_1B_1$$. Поэтому получаем четырёхугольник $$B_1D_1MN$$.
Докажем, что это трапеция. По построению $$MN \parallel B_1D_1$$. Кроме того, прямые $$B_1N$$ и $$D_1M$$ не параллельны: они пересекаются в точке $$E$$, лежащей вне параллелепипеда. Значит, в четырёхугольнике $$B_1D_1MN$$ только одна пара противоположных сторон параллельна.
Следовательно, $$B_1D_1MN$$ — трапеция.
Ответ: сечение — четырёхугольник $$B_1D_1MN$$, это трапеция.
