Упр.84 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Через точку $M$ проведём прямую $MN$, параллельную $B_1D_1$. Эта прямая пересечёт ребро $CC_1$ в точке $N$.

Соединим точки $B_1$ и $N$, а также $D_1$ и $M$. Тогда четырёхугольник $B_1D_1MN$ является искомым сечением параллелепипеда.

Докажем, что это трапеция. По построению

$$B_1D_1 \parallel MN.$$

Остаётся показать, что другие стороны не параллельны. Прямые $B_1N$ и $D_1M$ пересекаются в точке $E$, значит, они не параллельны.

Следовательно, четырёхугольник $B_1D_1MN$ имеет одну пару параллельных сторон, то есть является трапецией.

Ответ

Сечение — четырёхугольник $B_1D_1MN$, где $MN \parallel B_1D_1$; значит, это трапеция.