Упр.839 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ высота $$BH$$ проведена к стороне $$AC$$, а $$D$$ — диаметр описанной около треугольника окружности.

Обозначим $$BC=a$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$BH=h$$.

По теореме синусов для треугольника $$ABC$$ имеем:

$$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R=D,$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности, а $$D=2R$$ — её диаметр.

Найдём площадь треугольника двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin \angle B$$

и

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}bh.$$

Приравнивая эти выражения, получаем:

$$\frac{1}{2}ab\sin \angle B=\frac{1}{2}bh,$$

откуда

$$a\sin \angle B=h.$$

Из теоремы синусов $$\dfrac{b}{\sin \angle B}=D$$, значит

$$\sin \angle B=\frac{b}{D}.$$

Подставим это в равенство $$a\sin \angle B=h$$:

$$a\cdot \frac{b}{D}=h,$$

следовательно,

$$ab=Dh.$$

Так как $$a=BC$$ и $$b=AB$$, то

$$AB\cdot BC=D_{\text{окр}}\cdot BH.$$

Что и требовалось доказать.