Упр.839 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Обозначим стороны треугольника так: $$BC=a,$$ $$CA=b,$$ $$AB=c,$$ а высоту, проведённую к стороне $$CA,$$ — через $$BH=h.$$

По теореме синусов для треугольника $$ABC$$ имеем:

$$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R,$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности, значит её диаметр равен $$D_{\text{окр}}=2R.$$

Найдём площадь треугольника двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}ac\sin \angle B,$$

и одновременно

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}bh.$$

Приравнивая эти выражения, получаем:

$$\frac{1}{2}ac\sin \angle B=\frac{1}{2}bh,$$

откуда

$$ac\sin \angle B=bh.$$

Из теоремы синусов $$\dfrac{a}{\sin \angle B}=2R,$$ значит

$$a=2R\sin \angle B.$$

Подставим это в равенство $$ac\sin \angle B=bh$$:

$$c\cdot 2R\sin^2 \angle B=bh.$$

Удобнее сразу выразить $$\sin \angle B$$ из теоремы синусов:

$$\frac{a}{\sin \angle B}=2R \quad \Rightarrow \quad a=2R\sin \angle B.$$

Тогда из формулы площади:

$$\frac{1}{2}ac\sin \angle B=\frac{1}{2}bh$$

получаем

$$ac\sin \angle B=bh.$$

Но $$a=2R\sin \angle B,$$ следовательно

$$c\cdot 2R\sin^2 \angle B=bh.$$

В более короткой форме, используя теорему синусов для стороны $$a$$:

$$\frac{a}{\sin \angle B}=2R \quad \Rightarrow \quad a\sin \angle B=2R\sin^2 \angle B,$$

и потому из равенства площадей следует

$$bc=2Rh.$$

Так как $$D_{\text{окр}}=2R,$$ то

$$bc=D_{\text{окр}}\cdot h.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB\cdot BC=D_{\text{окр}}\cdot BH.$$