Упр.838 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Биссектрисы AA_1, BB_1 и CC_1 треугольника АВС со сторонами АВ=с, ВС=а и СА=b пересекаются в точке О. а) Найдите отношения AO/OA_1, BO/OB_1, CO/OC_1. б) Докажите, что AO/AA_1+BO/BB_1+CO/CC_1=2, AO_1/AA_1+BO_1/BB_1+CO_1/CC_1=1. в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2:1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения биссектрис: $$O=AA_1\cap BB_1\cap CC_1.$$

По теореме о биссектрисе в треугольнике $$AA_1B$$ имеем

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AB}{BA_1}.$$

Найдём $$BA_1$$. В треугольнике $$ABC$$ по теореме о биссектрисе:

$$\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$

Так как $$BA_1+A_1C=BC=a,$$ то

$$\frac{BA_1}{a-BA_1}=\frac{c}{b},$$

откуда

$$b\,BA_1=c(a-BA_1),$$

$$BA_1=\frac{ac}{b+c}.$$

Тогда

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AB}{BA_1}=\frac{c}{ac/(b+c)}=\frac{b+c}{a}.$$

Аналогично получаем:

$$\frac{BO}{OB_1}=\frac{a+c}{b}, \qquad \frac{CO}{OC_1}=\frac{a+b}{c}.$$

б) Из найденного в пункте а) следует:

$$\frac{AO}{AA_1}=\frac{AO}{AO+OA_1}=\frac{\frac{AO}{OA_1}}{1+\frac{AO}{OA_1}}=\frac{(b+c)/a}{1+(b+c)/a}=\frac{b+c}{a+b+c}.$$

Аналогично:

$$\frac{BO}{BB_1}=\frac{a+c}{a+b+c}, \qquad \frac{CO}{CC_1}=\frac{a+b}{a+b+c}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{AO}{AA_1}+\frac{BO}{BB_1}+\frac{CO}{CC_1}=\frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c}=2.$$

$$\frac{OA_1}{AA_1}=\frac{OA_1}{OA_1+AO}=\frac{1}{1+\frac{AO}{OA_1}}=\frac{a}{a+b+c}.$$

Аналогично:

$$\frac{OB_1}{BB_1}=\frac{b}{a+b+c}, \qquad \frac{OC_1}{CC_1}=\frac{c}{a+b+c}.$$

Тогда

$$\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1.$$

в) Если бы какая-нибудь биссектриса делилась точкой $$O$$ пополам, например $$AO=OA_1,$$ то из пункта а) было бы

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a}=1,$$

то есть $$a=b+c.$$ Но в треугольнике всегда $$a<b+c,$$ значит это невозможно. Следовательно, ни одна биссектриса не может делиться точкой $$O$$ пополам.

г) Пусть, например, биссектриса $$AA_1$$ делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Тогда

$$\frac{AO}{OA_1}=2.$$

По пункту а)

$$\frac{b+c}{a}=2,$$

откуда

$$a=\frac{b+c}{2}.$$

Обратно, если $$a=\frac{b+c}{2},$$ то

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a}=2,$$

то есть биссектриса $$AA_1$$ делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$. Аналогично для остальных биссектрис.