Упр.838 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Биссектрисы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ со сторонами $$AB=c$$, $$BC=a$$ и $$CA=b$$ пересекаются в точке $$O$$.
а) Найдите отношения $$\frac{AO}{OA_1}$$, $$\frac{BO}{OB_1}$$, $$\frac{CO}{OC_1}$$.
б) Докажите, что $$\frac{AO}{AA_1}+\frac{BO}{BB_1}+\frac{CO}{CC_1}=2$$, $$\frac{AO_1}{AA_1}+\frac{BO_1}{BB_1}+\frac{CO_1}{CC_1}=1$$.
в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой $$O$$ пополам?
г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1$$ — биссектрисы треугольника $$ABC$$, а точка $$O$$ — их точка пересечения. Обозначим $$AB=c,\; BC=a,\; CA=b$$.

Ход решения

а) По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABA_1$$ имеем

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AB}{BA_1}.$$

Найдём $$BA_1$$. В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AA_1$$ делит сторону $$BC$$ в отношении

$$\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$

Так как $$BA_1+A_1C=BC=a$$, то

$$BA_1=\frac{ac}{b+c}.$$

Тогда

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{c}{ac/(b+c)}=\frac{b+c}{a}.$$

Аналогично получаем

$$\frac{BO}{OB_1}=\frac{a+c}{b},\qquad \frac{CO}{OC_1}=\frac{a+b}{c}.$$

б) Из пункта а) найдём отношения частей биссектрисы:

$$\frac{AO}{AA_1}=\frac{AO}{AO+OA_1}=\frac{\frac{b+c}{a}}{1+\frac{b+c}{a}}=\frac{b+c}{a+b+c}.$$

Аналогично

$$\frac{BO}{BB_1}=\frac{a+c}{a+b+c},\qquad \frac{CO}{CC_1}=\frac{a+b}{a+b+c}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{AO}{AA_1}+\frac{BO}{BB_1}+\frac{CO}{CC_1}=\frac{(b+c)+(a+c)+(a+b)}{a+b+c}=2.$$

$$\frac{OA_1}{AA_1}=\frac{OA_1}{OA_1+AO}=\frac{1}{1+\frac{AO}{OA_1}}=\frac{1}{1+\frac{b+c}{a}}=\frac{a}{a+b+c}.$$

Аналогично

$$\frac{OB_1}{BB_1}=\frac{b}{a+b+c},\qquad \frac{OC_1}{CC_1}=\frac{c}{a+b+c}.$$

Тогда

$$\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1.$$

в) Пусть какая-нибудь биссектриса делится точкой $$O$$ пополам, например $$AA_1$$. Тогда $$AO=OA_1$$, значит

$$\frac{AO}{OA_1}=1.$$

Но по пункту а)

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a},$$

следовательно, $$b+c=a$$. Это невозможно для сторон треугольника, так как всегда $$b+c>a$$. Значит, ни одна биссектриса не может делиться точкой $$O$$ пополам.

г) Пусть биссектриса $$AA_1$$ делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Тогда

$$\frac{AO}{OA_1}=2.$$

С другой стороны,

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{b+c}{a},$$

поэтому

$$\frac{b+c}{a}=2 \quad \Longleftrightarrow \quad a=\frac{b+c}{2}.$$

Аналогично для других биссектрис получаем: одна из биссектрис делится точкой $$O$$ в отношении $$2:1$$ тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.