Упр.837 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что $$BD:AB=DC:AC$$.

Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AD$$ через $$K$$.

Тогда $$DK \parallel AB.$$

Рассмотрим треугольники $$DCK$$ и $$BCA$$. У них

$$\angle DKC=\angle BAC,$$

так как $$DK \parallel AB$$, и

$$\angle DCK=\angle BCA,$$

так как точки $$D$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой, а $$CK \parallel AB$$.

Следовательно, $$\triangle DCK \sim \triangle BCA.$$

Из подобия получаем

$$\frac{DC}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{DK}{BA}.$$

Из равенства $$\frac{CK}{CA}=\frac{DC}{BC}$$ имеем

$$CK=\frac{DC\cdot CA}{BC}.$$

Так как $$A$$ лежит между $$K$$ и $$C$$, то

$$AK=CK-AC.$$

Подставим найденное значение $$CK$$:

$$AK=\frac{DC\cdot CA}{BC}-AC=AC\left(\frac{DC}{BC}-1\right).$$

Из подобия также следует

$$\frac{DK}{BA}=\frac{DC}{BC},$$

то есть

$$DK=\frac{DC\cdot AB}{BC}.$$

Но $$AD$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$, значит

$$\angle DAB=\angle KAD.$$

Кроме того, $$\angle DKA=\angle DAB,$$

поскольку $$DK \parallel AB$$.

Значит, треугольники $$DKA$$ и $$DAB$$ подобны, откуда

$$\frac{DK}{DB}=\frac{KA}{AB}.$$

С другой стороны, из подобия треугольников $$DCK$$ и $$BCA$$ имеем

$$\frac{DK}{AB}=\frac{DC}{BC}.$$

Тогда

$$\frac{KA}{AB}=\frac{DK}{DB}=\frac{DC}{BC}\cdot\frac{AB}{DB}.$$

После преобразования получаем

$$BD\cdot AC=AB\cdot DC,$$

то есть

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Что и требовалось доказать.