Упр.837 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD:AB=DC:АС.

Пусть через точку $$D$$ проведена прямая $$DK \parallel AB$$, где $$K \in AC$$. Тогда

$$\angle DAK=\angle ADM$$

как накрест лежащие, а так как $$AD$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$, то

$$\angle DAK=\angle DAM.$$

Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle DKA$$ и $$\triangle DAM$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$DK=DM.$$

Теперь найдём площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$:

$$S_{ABD}=\frac12 \cdot DM \cdot AB,$$

$$S_{ACD}=\frac12 \cdot DK \cdot AC.$$

Так как $$DM=DK$$, то

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

С другой стороны, треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}.$$

Приравнивая полученные отношения, имеем

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Отсюда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Ответ

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$