Упр.836 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$D$$ так, что $$BD:AB=DC:AC$$. Докажите, что отрезок $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.

Воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника: если точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ и

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC},$$

то отрезок $$AD$$ является биссектрисой угла $$A$$.

По условию

$$BD:AB=DC:AC,$$

откуда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Перемножим пропорцию крест-накрест:

$$BD\cdot AC=DC\cdot AB,$$

и разделим обе части на $$DC\cdot AC$$:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Следовательно, точка $$D$$ делит сторону $$BC$$ в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам $$AB$$ и $$AC$$, значит, $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.

Ответ

$$AD$$ — биссектриса $$\triangle ABC$$.