Упр.834 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$ ($$AB>CD$$) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если $$CD=a$$, $$DK=b$$ и $$AK=d$$, где $$K$$ — точка касания окружности и стороны $$AD$$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции: $$E\in DC,$$ $$M\in CB,$$ $$F\in AB.$$ Тогда по свойству касательных из одной точки

$$DE=DK=b,$$ $$CM=CE=DC-DE=a-b,$$ $$AK=AF=d.$$

Опустим высоту $$DH$$ на основание $$AB.$$ Так как окружность вписана в трапецию, то расстояние между основаниями равно диаметру окружности, значит

$$DH=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$ имеем $$AH=AF-FH=d-b$$, поэтому

$$DH^2=AD^2-AH^2=(d+b)^2-(d-b)^2.$$

Тогда

$$4R^2=d^2+2db+b^2-d^2+2db-b^2=4db,$$

откуда

$$R=\sqrt{db}.$$

Пусть $$BM=BF=x.$$ Опустим высоту $$CH_1$$ на основание $$AB$$. Тогда $$CH_1=2R$$, а

$$BH_1=BF+FH_1=x+(a-b).$$

В прямоугольном треугольнике $$CH_1B$$:

$$CH_1^2=BC^2-BH_1^2.$$

С другой стороны, $$BC=BM+MC=x+a-b$$, поэтому

$$4R^2=(x+a-b)^2-(x-a+b)^2=4x(a-b).$$

Так как $$4R^2=4db,$$ получаем

$$x=\frac{bd}{a-b}.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac12\cdot DH\cdot(AB+DC)=\frac12\cdot 2R\cdot(AB+DC).$$

Причём

$$AB=AF+FB=d+x,\qquad DC=a.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=R(d+x+a)=\sqrt{bd}\left(d+a+\frac{bd}{a-b}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S_{ABCD}=\frac{(d+a)(a-b)+bd}{a-b}\sqrt{bd}=\frac{a^2+a(d-b)}{a-b}\sqrt{bd}.$$

Ответ

$$\frac{a^2+a(d-b)}{a-b}\sqrt{bd}.$$