Упр.833 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции через $$E, F, G, H.$$ Тогда в четырёхугольнике $$ABFH$$ имеем $$OH \perp AD,$$ $$OF \perp BC,$$ а также $$O \in FH,$$ значит $$ABFH$$ — прямоугольник. Следовательно,

$$FH=AB=2r=h,$$

где $$h$$ — высота трапеции, а также $$BF=AH=OE=r.$$

Опустим из точки $$C$$ высоту $$CK \perp AD.$$ Тогда

$$CK^2=CD^2-KD^2=CD^2-(AD-BC)^2.$$

Так как трапеция описана около окружности, то по свойству описанного четырёхугольника

$$AD+BC=AB+CD.$$

Отсюда

$$CD=AD+BC-AB=AD+BC-h.$$

Подставим это в выражение для $$CK^2$$:

$$ CK^2=(AD+BC-h)^2-(AD-BC)^2. $$

Но $$CK=h,$$ значит

$$ h^2=(AD+BC-h)^2-(AD-BC)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ h^2=(AD+BC)^2-2h(AD+BC)+h^2-(AD-BC)^2. $$

Сократим $$h^2$$ и перенесём:

$$ 2h(AD+BC)=(AD+BC)^2-(AD-BC)^2. $$

Используем формулу разности квадратов:

$$ (AD+BC)^2-(AD-BC)^2=4AD\cdot BC. $$

Тогда

$$ 2h(AD+BC)=4AD\cdot BC, $$

откуда

$$ h(AD+BC)=2AD\cdot BC. $$

Площадь трапеции равна

$$ S_{ABCD}=\frac{(AD+BC)h}{2}=\frac{2AD\cdot BC}{2}=AD\cdot BC. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{ABCD}=AD\cdot BC.$$