Упр.833 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции через $$E, F, G, H.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$ABFH.$$ Так как $$AB \perp AD$$ и $$AB \perp BC,$$ а радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, то $$OH \perp AD,$$ $$OF \perp BC.$$ Следовательно, $$FH \perp AH,$$ значит, $$ABFH$$ — прямоугольник.
Отсюда
$$FH=AB=h,$$
где $$h$$ — высота трапеции, а также
$$BF=AH=OE=r.$$
Опустим из точки $$C$$ высоту $$CK \perp AD.$$ Тогда
$$CK=h,$$
а также
$$CK^2=CD^2-KD^2=CD^2-(AD-BC)^2.$$
Так как трапеция описана около окружности, то сумма длин противоположных сторон равна:
$$AD+BC=AB+CD.$$
Следовательно,
$$CD=AD+BC-AB=AD+BC-h.$$
Подставим это в выражение для $$CK^2$$:
$$h^2=(AD+BC-h)^2-(AD-BC)^2.$$
Раскроем скобки:
$$h^2=(AD+BC)^2-2h(AD+BC)+h^2-(AD-BC)^2.$$
Сократим $$h^2$$ и перенесём остальные слагаемые:
$$2h(AD+BC)=(AD+BC)^2-(AD-BC)^2.$$
Используем формулу разности квадратов:
$$(AD+BC)^2-(AD-BC)^2=4AD\cdot BC.$$
Тогда
$$2h(AD+BC)=4AD\cdot BC,$$
откуда
$$h(AD+BC)=2AD\cdot BC.$$
Площадь трапеции равна
$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h.$$
Подставляя найденное равенство, получаем:
$$S_{ABCD}=\frac{h(AD+BC)}{2}=\frac{2AD\cdot BC}{2}=AD\cdot BC.$$
Что и требовалось доказать.
