Упр.832 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.

Пусть диагональ $$AC$$ делит выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Обозначим окружности, вписанные в эти треугольники, через $$O_1$$ и $$O_2$$.

1. Докажем необходимость. Пусть в четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность, и пусть она касается диагонали $$AC$$ в точке $$E$$. Тогда эта же точка является точкой касания окружности $$O_1$$ со стороной $$AC$$ и окружности $$O_2$$ со стороной $$AC$$.

Обозначим точки касания окружности $$O_1$$ со сторонами $$AB$$ и $$BC$$ через $$K$$ и $$P$$, а окружности $$O_2$$ со сторонами $$AD$$ и $$DC$$ через $$M$$ и $$N$$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем

$$AK=AE,\quad CE=CP,\quad AM=AE,\quad CE=CN.$$

Следовательно,

$$AK=AM,\quad CP=CN.$$

Для четырёхугольника $$ABCD$$ получаем:

$$ AB+CD=(AK+KB)+(CN+ND)=AK+KB+CN+ND, $$

а также

$$ AD+BC=(AM+MD)+(BK+CP)=AM+MD+BK+CP. $$

Так как $$AK=AM$$ и $$CN=CP$$, то

$$AB+CD=AD+BC.$$

Значит, в четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность.

2. Докажем достаточность. Пусть в четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность. Тогда для него выполняется условие

$$AB+CD=AD+BC.$$

Пусть окружность $$O_1$$ касается диагонали $$AC$$ в точке $$E_1$$, а окружность $$O_2$$ — в точке $$E_2$$. Обозначим точки касания с другими сторонами так же, как выше: $$K, P, M, N$$.

Из свойства касательных из одной точки имеем

$$BP=BK,\quad DM=DN,$$

$$AE_1=AK,\quad CE_1=CP,$$

$$AE_2=AM,\quad CE_2=CN.$$

Запишем равенство $$AB+CD=AD+BC$$ через отрезки касательных:

$$ (AK+KB)+(CN+ND)=(AM+MD)+(BK+CP). $$

После сокращения получаем

$$AK+CN=AM+CP,$$

то есть

$$ (AK-AM)+(CN-CP)=0. $$

Но $$AK=AE_1,\ AM=AE_2,\ CP=CE_1,\ CN=CE_2$$, значит

$$ (AE_1-AE_2)+(CE_2-CE_1)=0. $$

Отсюда

$$E_1E_2=0,$$

то есть $$E_1$$ и $$E_2$$ совпадают. Следовательно, окружности $$O_1$$ и $$O_2$$ касаются диагонали $$AC$$ в одной точке.

Тем самым доказано, что в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в треугольники, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.

Ответ

Выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ является описанным около окружности тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$, касаются диагонали $$AC$$ в одной точке.