Упр.832 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.

Подробный ответ

Пусть диагональ $$AC$$ делит выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Обозначим точки касания вписанных окружностей этих треугольников с диагональю $$AC$$ через $$E_1$$ и $$E_2$$.

Доказательство

1. Докажем, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то окружности треугольников касаются диагонали в одной точке.

Пусть в $$ABCD$$ можно вписать окружность. Тогда для описанного четырёхугольника выполняется свойство:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Обозначим точки касания вписанной окружности с сторонами $$AB,\,BC,\,CD,\,DA$$ через $$K,\,P,\,N,\,M$$ соответственно. Тогда по свойству касательных из одной точки имеем:

$$BK=BP,\quad CP=CN,\quad DN=DM,\quad AK=AM.$$

Следовательно,

$$AB+CD=(AK+KB)+(CN+ND)=AM+BP+CP+DM,$$

а также

$$BC+AD=(BP+PC)+(AM+MD)=BP+PC+AM+DM.$$

Из равенства $$AB+CD=BC+AD$$ получаем

$$BP+CP=BP+PC,$$

то есть

$$CP=CN.$$

Но в треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ отрезки $$CP$$ и $$CN$$ — касательные от точки $$C$$ к соответствующим вписанным окружностям, значит расстояния от точки $$C$$ до точек касания на диагонали равны. Следовательно, точки касания с диагональю совпадают: $$E_1=E_2$$.

Значит, окружности, вписанные в треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$, касаются диагонали $$AC$$ в одной точке.

2. Докажем обратное утверждение.

Пусть окружности, вписанные в треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$, касаются диагонали $$AC$$ в одной точке $$E$$. Тогда

$$AE=AK,\quad CE=CP,$$

где $$K$$ и $$P$$ — точки касания этих окружностей со сторонами $$AB$$ и $$BC$$, а также со сторонами $$AD$$ и $$DC$$ соответственно.

Из свойств касательных из одной точки получаем:

$$BK=BP,\quad DN=DM.$$

Тогда

$$AB+CD=(AK+KB)+(CN+ND),$$

$$BC+AD=(BP+PC)+(AM+MD).$$

Так как $$AE=AK$$ и $$CE=CP$$, то равенство касательных на диагонали в одной точке даёт

$$PC=CN.$$

Следовательно,

$$AB+CD=(AK+KB)+(CN+ND)=(AM+BP)+(CP+DM)=BC+AD.$$

По признаку описанного четырёхугольника получаем, что в $$ABCD$$ можно вписать окружность.

Итак, в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.