Упр.831 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.
Обозначим точки пересечения продолжений противоположных сторон: $$N=AB\cap DC$$, $$M=BC\cap DA$$. Пусть $$NO$$ и $$MO$$ — биссектрисы углов $$\angle AND$$ и $$\angle DMC$$.
Докажем сначала прямое утверждение. Проведём точки $$E=NO\cap BC$$ и $$F=MO\cap BA$$. Пусть $$MO\perp NO$$. Обозначим $$\angle CMO=\angle OMD=a$$, $$\angle ANO=\angle OND=\varphi$$.
В прямоугольном треугольнике $$MEO$$ имеем
$$\angle MEO=90^\circ-a.$$
Так как точки $$N,E,O$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle NEC=\angle MEO=90^\circ-a.$$
В треугольнике $$NEC$$:
$$\angle NCE=180^\circ-\varphi-(90^\circ-a)=90^\circ+a-\varphi.$$
Но $$\angle NCE=\angle BCD$$, значит
$$\angle BCD=90^\circ-a+\varphi.$$
Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$NFO$$:
$$\angle NFO=90^\circ-\varphi.$$
Так как $$M,F,O$$ лежат на одной прямой, то $$\angle MFA=\angle NFO=90^\circ-\varphi$$. Тогда в треугольнике $$MAF$$:
$$\angle MAF=180^\circ-a-(90^\circ-\varphi)=90^\circ-a+\varphi.$$
Следовательно, $$\angle BAD=\angle MAF=90^\circ-a+\varphi.$$
Теперь получаем:
$$\angle BAD+\angle BCD=(90^\circ-a+\varphi)+(90^\circ-a+\varphi)=180^\circ.$$
Значит, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.
Докажем обратное. Пусть теперь $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник. Тогда
$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$
то есть
$$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ.$$
Из внешних углов треугольников $$BNC$$ и $$MBA$$ имеем:
$$\angle ABC=2\varphi+\angle BCN,$$
$$\angle ABC=2a+\angle BAM.$$
Кроме того, так как $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, то
$$\angle BCN+\angle BAM=180^\circ.$$
Складывая равенства, получаем:
$$2\angle ABC=2\varphi+2a+180^\circ,$$
откуда
$$\angle ABC=\varphi+a+90^\circ.$$
Теперь найдём угол между биссектрисами:
$$\angle MON=\angle ABC-a-\varphi=\varphi+a+90^\circ-a-\varphi=90^\circ.$$
Следовательно, $$MO\perp NO$$.
Ответ
Около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда $$NO\perp MO$$.