Упр.831 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.

Пусть $$E=NO\cap BC$$ и $$F=MO\cap BA.$$ Обозначим $$\angle CMO=\angle OMD=a$$ и $$\angle ANO=\angle OND=\varphi.$$

1. Докажем, что если $$NO\perp MO$$, то около $$ABCD$$ можно описать окружность.

Так как $$NO\perp MO$$, то в прямоугольном треугольнике $$MEO$$ имеем

$$\angle MEO=90^\circ-a.$$

Углы $$\angle MEO$$ и $$\angle NEC$$ — вертикальные, значит

$$\angle NEC=90^\circ-a.$$

В треугольнике $$NEC$$:

$$\angle NCE=180^\circ-\varphi-(90^\circ-a)=90^\circ+a-\varphi.$$

Тогда

$$\angle BCD=180^\circ-\angle NCE=180^\circ-(90^\circ+a-\varphi)=90^\circ-a+\varphi.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$NFO$$:

$$\angle NFO=90^\circ-\varphi.$$

Углы $$\angle NFO$$ и $$\angle MFA$$ — вертикальные, значит

$$\angle MFA=90^\circ-\varphi.$$

В треугольнике $$MAF$$:

$$\angle MAF=180^\circ-a-(90^\circ-\varphi)=90^\circ-a+\varphi.$$

Следовательно,

$$\angle BAD=180^\circ-\angle MAF=180^\circ-(90^\circ-a+\varphi)=90^\circ+a-\varphi.$$

Тогда

$$\angle BAD+\angle BCD=(90^\circ+a-\varphi)+(90^\circ-a+\varphi)=180^\circ.$$

Значит, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.

2. Докажем обратное: если около $$ABCD$$ можно описать окружность, то $$NO\perp MO$$.

Пусть $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник. Тогда

$$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$MNB$$. В нём

$$180^\circ-\angle ABC=\angle BMN+\angle MNB.$$

Отсюда

$$\angle MON=180^\circ-(a+\angle BMN)-(\varphi+\angle BNM).$$

Так как $$\angle BMN+\angle BNM=180^\circ-\angle ABC,$$ получаем

$$\angle MON=\angle ABC-a-\varphi.$$

С другой стороны, внешний угол треугольника даёт:

$$\angle ABC=2\varphi+\angle BCN,$$

$$\angle ABC=2a+\angle BAM.$$

Так как $$ABCD$$ — вписанный четырёхугольник, то

$$\angle BCN+\angle BAM=180^\circ.$$

Следовательно,

$$2\angle ABC=2\varphi+2a+180^\circ,$$

то есть

$$\angle ABC=\varphi+a+90^\circ.$$

Тогда

$$\angle MON=\angle ABC-a-\varphi=90^\circ.$$

Значит, $$NO\perp MO$$.

Итак, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда $$NO\perp MO$$.