Упр.830 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На окружности даны четыре точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ в указанном порядке. Точка $$M$$ — середина дуги $$AB$$, $$K$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$MD$$, $$E$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$MC$$. Докажите, что около четырёхугольника $$CDKE$$ можно описать окружность.

Рассмотрим углы $$\angle BEC$$ и $$\angle MDC$$.

Так как $$E$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$MC$$, то угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным к нему:

$$\angle BEC=\frac12 \overset{\frown}{BC}+\frac12 \overset{\frown}{MA}.$$

Аналогично, поскольку $$K$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$MD$$, имеем

$$\angle MDC=\frac12 \overset{\frown}{MC}.$$

Но дуга $$\overset{\frown}{MC}$$ состоит из дуг $$\overset{\frown}{MB}$$ и $$\overset{\frown}{BC}$$, а точка $$M$$ — середина дуги $$AB$$, значит

$$\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{MA}.$$

Тогда

$$\angle MDC=\frac12 \overset{\frown}{MB}+\frac12 \overset{\frown}{BC} =\frac12 \overset{\frown}{MA}+\frac12 \overset{\frown}{BC} =\angle BEC.$$

Углы $$\angle BEC$$ и $$\angle MEA$$ — вертикальные, поэтому

$$\angle BEC=\angle MEA.$$

Следовательно,

$$\angle MEA=\angle MDC.$$

Так как точки $$K, E, M$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle KEC$$ и $$\angle MEA$$ смежные, значит

$$\angle KEC+\angle MEA=180^\circ.$$

Подставляя $$\angle MEA=\angle MDC$$, получаем

$$\angle KEC+\angle MDC=180^\circ.$$

Итак, сумма противоположных углов четырёхугольника $$CDKE$$ равна $$180^\circ$$, значит около него можно описать окружность.

Ответ: около четырёхугольника $$CDKE$$ можно описать окружность.