Упр.829 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Возьмём на диагонали $$AC$$ точку $$K$$ так, чтобы $$\angle ABK=\angle CBD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABK$$ и $$CBD$$. Так как $$\angle ABK=\angle CBD$$ по построению, а $$\angle AKB=\angle CDB$$ как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$, то $$\triangle ABK \sim \triangle CBD$$. Отсюда

$$\frac{AK}{DC}=\frac{AB}{DB},$$

значит

$$AK=\frac{AB\cdot DC}{DB}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BKC$$ и $$ABD$$. Угол

$$\angle BKC=180^\circ-\angle AKB=180^\circ-\angle C= \angle A,$$

так как в вписанном четырёхугольнике $$\angle A+\angle C=180^\circ$$. Кроме того,

$$\angle BCK=\angle ADB$$

как углы, опирающиеся на одну дугу $$AB$$. Следовательно, $$\triangle BKC \sim \triangle ABD$$, и потому

$$\frac{KC}{AD}=\frac{BC}{BD},$$

откуда

$$KC=\frac{BC\cdot AD}{BD}.$$

Так как $$AC=AK+KC$$, то

$$AC=\frac{AB\cdot DC}{DB}+\frac{BC\cdot AD}{DB}.$$

Умножим обе части на $$BD$$:

$$AC\cdot BD=AB\cdot DC+BC\cdot AD.$$

Что и требовалось доказать.