Упр.828 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В четырёхугольнике $$ABCD$$, вписанном в окружность, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $$CD$$. Докажите, что $$CD=BC+AD$$.

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ прямую $$EF \parallel AB$$, где $$E \in AD$$, $$F \in BC$$.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то

$$\angle DAB+\angle BCD=180^\circ.$$

Поскольку $$EF \parallel AB$$, имеем

$$\angle AEM=\angle DAB,\qquad \angle FMC=\angle BCD.$$

Следовательно,

$$\angle AEM+\angle FMC=180^\circ.$$

Кроме того, углы $$\angle DME$$ и $$\angle FMC$$ — вертикальные, значит

$$\angle DME=\angle FMC.$$

Точка $$M$$ — точка пересечения биссектрис углов $$A$$ и $$B$$, поэтому она равноудалена от прямых $$AB$$ и $$AD$$, а также от прямых $$AB$$ и $$BC$$. Значит, расстояния от $$M$$ до прямых $$AD$$ и $$BC$$ равны, то есть высоты треугольников $$DEM$$ и $$CFM$$, опущенные из вершины $$M$$, равны. Тогда

$$\triangle DEM \cong \triangle CFM,$$

откуда

$$DE=CF.$$

Аналогично, так как $$M$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, то

$$\angle AME=\angle BAM,$$

и в треугольнике $$AEM$$ получаем

$$AE=EM.$$

Точно так же из биссектрисы угла $$B$$ следует

$$BF=FM.$$

Теперь

$$CD=DE+EM+MF+FC.$$

Подставляя найденные равенства, получаем