Упр.827 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности, а $$d$$ — её диаметр. Проведём через точку $$B$$ диаметр $$BB_1$$.

Тогда по теореме Фалеса $$\angle BAB_1=90^\circ$$. Обозначим $$\angle CAB=\varphi$$. Так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то $$AC\perp BD$$, значит в треугольнике $$ABC$$ угол между хордой $$AB$$ и диагональю $$AC$$ равен $$\varphi$$, а в треугольнике $$CBD$$ соответствующий угол равен $$90^\circ-\varphi$$.

Рассмотрим углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Вписанные углы $$\angle ABB_1$$ и $$\angle CDB$$ опираются на равные дуги, поэтому

$$\angle ABB_1=\angle CDB.$$

Но $$\angle ABB_1=90^\circ-\angle BAB_1=90^\circ-\angle CAB=90^\circ-\varphi,$$ а также, поскольку $$AC\perp BD$$, имеем $$\angle CDB=90^\circ-\varphi$$. Следовательно, соответствующие хорды равны:

$$AB_1=CD.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$ по теореме Пифагора получаем

$$ BB_1^2=AB^2+AB_1^2. $$

Так как $$BB_1=d$$ и $$AB_1=CD$$, то

$$ d^2=AB^2+CD^2. $$

Что и требовалось доказать.