Упр.827 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Проведём диаметр $$BB_1$$. Тогда вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, значит

$$\angle BAB_1=90^\circ.$$

Обозначим $$\angle BAC=\alpha.$$ Так как диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны, то в треугольнике $$ABC$$ угол между сторонами $$AB$$ и $$BC$$ дополняет угол $$\alpha$$ до прямого, и аналогично получаем

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle AB_1B.$$

Но вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому

$$\angle AB_1B=\angle ACB.$$

Следовательно,

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle ACB.$$

В прямоугольном треугольнике $$OCB$$ имеем

$$\angle CBO=90^\circ-\angle OCB.$$

Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OB=OC$$, значит треугольник $$OCB$$ равнобедренный и

$$\angle CBO=\angle OCB.$$

Отсюда

$$\angle CBO=90^\circ-\angle ACB.$$

Следовательно,

$$\angle ABB_1=\angle CBO.$$

Тогда в треугольниках $$ABB_1$$ и $$CBD$$ равны по одному острому углу и имеют общий угол при вершине, поэтому эти треугольники подобны. Из подобия получаем

$$AB_1=CD.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$ по теореме Пифагора:

$$BB_1^2=AB^2+AB_1^2.$$

Подставляя $$AB_1=CD$$, получаем

$$BB_1^2=AB^2+CD^2.$$

Но $$BB_1$$ — диаметр описанной окружности, значит

$$AB^2+CD^2=d^2.$$

Что и требовалось доказать.