Упр.826 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$. Докажите, что точки $$A$$, $$B$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на одной окружности.

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$, то

$$AA_1 \perp BC,\qquad BB_1 \perp AC.$$

Следовательно,

$$\angle AA_1B_1=90^\circ,\qquad \angle AB_1B=90^\circ.$$

Значит, точки $$A,\,B,\,A_1,\,B_1$$ лежат на одной окружности, поскольку углы $$\angle AA_1B_1$$ и $$\angle AB_1B$$ опираются на один и тот же отрезок $$AB$$ и являются прямыми.

Итак, четырёхугольник $$ABA_1B_1$$ — вписанный.

Ответ

$$A,\,B,\,A_1,\,B_1$$ лежат на одной окружности.