Упр.825 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Хорды \(AB\) и \(CD\) взаимно перпендикулярны, луч \(AB\) является биссектрисой угла \(DAE\). Докажите, что \(AE=BC\). Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть $$M$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$CD$$, а $$E$$ — точка пересечения прямых $$AE$$ и $$BC$$.

Рассмотрим два возможных случая: прямая $$AE$$ может быть секущей или касательной к окружности. В обоих случаях рассуждение одинаково.

Так как точки $$B, E, C, A$$ лежат на окружности, то вписанные углы $$\angle EBA$$ и $$\angle CDA$$ опираются на одну и ту же дугу $$CA$$, значит

$$\angle EBA=\angle CDA.$$

Поскольку хорды $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны, то $$\angle DMA=90^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$DMA$$ имеем

$$\angle DAB=90^\circ-\angle CDA.$$

С учётом равенства $$\angle EBA=\angle CDA$$ получаем

$$\angle DAB=90^\circ-\angle EBA.$$

Но луч $$AB$$ — биссектриса угла $$DAE$$, значит

$$\angle DAB=\angle BAE.$$

Следовательно,

$$\angle BAE=90^\circ-\angle EBA.$$

Тогда в треугольнике $$AEB$$

$$\angle AEB=180^\circ-\angle EBA-\angle BAE=180^\circ-\angle EBA-\left(90^\circ-\angle EBA\right)=90^\circ.$$

Значит, $$AE\perp BC$$.

Ответ: $$AE\perp BC$$.