Упр.825 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, луч АВ является биссектрисой угла DAE. Докажите, что АЕ?ВС. Рассмотрите все возможные случаи.

Обозначим через $$M$$ точку пересечения хорд $$AB$$ и $$CD$$, а через $$E$$ — точку пересечения прямых $$AE$$ и $$BC$$.

Рассмотрим два возможных случая: прямая $$AE$$ может быть секущей или касательной к окружности. В обоих случаях рассуждение одинаково.

Так как углы $$\angle EBA$$ и $$\angle CDA$$ опираются на одну и ту же дугу $$CA$$, то

$$\angle EBA=\angle CDA.$$

Поскольку хорды $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны, то $$AB\perp CD$$, значит в треугольнике $$DMA$$ угол при $$M$$ прямой:

$$\angle DMA=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle DAB=90^\circ-\angle CDA.$$

С учётом равенства $$\angle CDA=\angle EBA$$ получаем

$$\angle DAB=90^\circ-\angle EBA.$$

Так как луч $$AB$$ — биссектриса угла $$DAE$$, то

$$\angle DAB=\angle BAE.$$

Следовательно,

$$\angle BAE=90^\circ-\angle EBA.$$

В треугольнике $$AEB$$ имеем

$$\angle AEB=180^\circ-\angle EBA-\angle BAE.$$

Подставим найденное значение $$\angle BAE$$:

$$ \angle AEB=180^\circ-\angle EBA-\left(90^\circ-\angle EBA\right)=90^\circ. $$

Значит, $$AE\perp BC$$.

Ответ

$$AE\perp BC.$$