Упр.824 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки А, В, С и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника АВС. Докажите, что $$\angle AMD=\angle BAD$$.

Пусть точка $$M$$ — точка пересечения прямых $$BD$$ и $$AC$$.

Так как точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной окружности, то вписанные углы $$\angle DBC$$ и $$\angle DAC$$ опираются на одну и ту же дугу $$DC$$, значит

$$\angle DBC=\angle DAC.$$

Поскольку $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, имеем

$$\angle ABM=\angle MBC.$$

Но точка $$M$$ лежит на прямой $$BD$$, поэтому $$\angle ABM=\angle ABD$$ и $$\angle MBC=\angle DBC$$. Следовательно,

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Тогда

$$\angle ABD=\angle DAC.$$

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Его внешний угол при вершине $$M$$ выражается через углы при вершинах $$A$$ и $$D$$:

$$\angle AMD=180^\circ-\angle DAM-\angle ADM.$$

Так как $$A, M, C$$ лежат на одной прямой, а $$B, M, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle DAM=\angle DAC,\qquad \angle ADM=\angle ADB.$$

Значит,

$$\angle AMD=180^\circ-\angle DAC-\angle ADB.$$

С другой стороны, в треугольнике $$ABD$$

$$\angle BAD=180^\circ-\angle ABD-\angle ADB.$$

Но $$\angle ABD=\angle DAC$$, поэтому

$$\angle BAD=180^\circ-\angle DAC-\angle ADB.$$

Следовательно,

$$\angle AMD=\angle BAD.$$

Ответ: $$\angle AMD=\angle BAD$$.