Упр.823 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точки $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ (рис. 209). Докажите, что $$AM=AN$$.

Рассмотрим углы, образованные пересекающимися хордами $$AB$$ и $$CC_1$$, а также хордами $$AC$$ и $$BB_1$$.

Тогда

$$\angle AMC_1=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BB_1}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC_1},$$

$$\angle ANB_1=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CC_1}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB_1}.$$

Так как точки $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$, то

$$\overset{\frown}{AB_1}=\overset{\frown}{B_1B}, \qquad \overset{\frown}{AC_1}=\overset{\frown}{C_1C}.$$

Следовательно,

$$\overset{\frown}{BB_1}=\overset{\frown}{AB_1}, \qquad \overset{\frown}{CC_1}=\overset{\frown}{AC_1},$$

и потому

$$\angle AMC_1=\angle ANB_1.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный, откуда

$$AM=AN.$$