Упр.821 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения прямых с окружностью так, как на рисунке: на одной прямой лежат точки $$A$$ и $$B$$, на другой — $$C$$ и $$D$$, а точка их пересечения — $$M$$. По условию $$AB=CD$$. Нужно доказать, что $$AM=CM$$ и $$BM=MD$$.

Доказательство

1. Случай, когда точка $$M$$ лежит внутри круга.

По теореме о пересекающихся хордах имеем:

$$AM\cdot MB=CM\cdot MD.$$

Так как $$M$$ лежит между концами каждой хорды, то

$$MB=AB-AM,\qquad MD=CD-CM.$$

С учётом $$AB=CD$$ получаем:

$$AM(AB-AM)=CM(AB-CM).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$AM\cdot AB-AM^2=CM\cdot AB-CM^2,$$

$$AB(AM-CM)=(AM-CM)(AM+CM).$$

Отсюда

$$AM=CM.$$

Тогда из равенства $$MB=AB-AM$$ и $$MD=CD-CM$$, а также из $$AB=CD$$ следует:

$$MB=MD.$$

2. Случай, когда точка $$M$$ лежит вне круга.

По теореме о секущих:

$$MA\cdot MB=MK^2,\qquad MC\cdot MD=MK^2,$$

значит,

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

Так как $$M$$ лежит вне круга, то

$$MB=MA+AB,\qquad MD=MC+CD.$$

Подставим $$AB=CD$$:

$$MA(MA+AB)=MC(MC+AB).$$

Получаем

$$MA^2+AB\cdot MA=MC^2+AB\cdot MC,$$

$$(MA-MC)(MA+MC+AB)=0.$$

Следовательно, $$MA=MC.$$ Тогда из $$MB=MA+AB$$ и $$MD=MC+CD$$ при $$AB=CD$$ имеем:

$$MB=MD.$$

Итак, в обоих случаях доказано, что расстояния от точки пересечения прямых до концов одной хорды равны соответствующим расстояниям до концов другой хорды.