Упр.820 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность касается сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ и пересекает сторону $$BC$$ в точках $$P$$ и $$Q$$, $$BP=CQ$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $$AB$$ и $$AC$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно.

По теореме о касательной и секущей для точки $$C$$ имеем

$$CN^2=CQ\cdot CP.$$

Аналогично для точки $$B$$:

$$BM^2=BP\cdot BQ.$$

Так как по условию $$BP=CQ$$, а точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на отрезке $$BC$$, то

$$BQ=BC-CQ,\qquad CP=BC-BP,$$

следовательно, $$BQ=CP$$. Тогда

$$CN^2=CQ\cdot CP=BP\cdot BQ=BM^2,$$

откуда $$CN=BM$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OAM$$ и $$\triangle OAN$$. У них

$$OM=ON$$

как радиусы одной окружности, а $$OA$$ — общая гипотенуза. Значит, $$\triangle OAM \cong \triangle OAN$$, поэтому

$$AM=AN.$$

Тогда

$$AB=AM+MB=AN+CN=AC,$$

то есть $$AB=AC$$. Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Ответ: $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=AC$$.