Упр.820 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность касается сторон АВ и АС треугольника АВС и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, BP=CQ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $$AB$$ и $$AC$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно.

По теореме о касательной и секущей для точки $$C$$ получаем:

$$CN^2=CQ\cdot CP.$$

Аналогично для точки $$B$$:

$$BM^2=BP\cdot BQ.$$

Так как по условию $$BP=CQ$$, а точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на отрезке $$BC$$, то

$$BQ=BC-BP,\qquad CP=BC-CQ,$$

следовательно, $$BQ=CP$$. Тогда

$$CN^2=CQ\cdot CP=BP\cdot BQ=BM^2,$$

откуда $$CN=BM$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AOM$$ и $$\triangle AON$$. У них

$$OM=ON$$

как радиусы одной окружности, а $$AO$$ — общая гипотенуза. Значит, $$\triangle AOM \cong \triangle AON$$, поэтому

$$AM=AN.$$

Тогда

$$AB=AM+MB,\qquad AC=AN+NC.$$

С учётом равенств $$AM=AN$$ и $$MB=NC$$ получаем:

$$AB=AC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

$$AB=AC,$$ значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.