Упр.82 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и отметьте внутреннюю точку $$M$$ грани $$AA_1B_1B$$. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку $$M$$ параллельно: а) плоскости основания $$ABCD$$; б) грани $$BB_1C_1C$$; в) плоскости $$BDD_1$$.
а) Плоскость, параллельная основанию $$ABCD$$, пересекает боковые грани параллелепипеда по прямым, параллельным рёбрам основания.
Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel AB$$. Пусть $$m \cap AA_1=A_2$$ и $$m \cap BB_1=B_2$$.
Через точку $$A_2$$ проведём прямую $$a \parallel AD$$, пусть $$a \cap DD_1=D_2$$.
Через точку $$B_2$$ проведём прямую $$b \parallel BC$$, пусть $$b \cap CC_1=C_2$$.
Соединим $$C_2$$ и $$D_2$$. Тогда $$A_2B_2C_2D_2$$ лежит в гранях параллелепипеда и является искомым сечением.
б) Прямые, по которым искомое сечение пересекает грани параллелепипеда, параллельны рёбрам грани $$BB_1C_1C$$.
Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel BB_1$$, пусть $$m \cap AB=Q$$ и $$m \cap A_1B_1=Q_1$$.
Через точку $$Q$$ проведём прямую $$b \parallel BC$$, пусть $$b \cap CD=P$$.
Через точку $$Q_1$$ проведём прямую $$b_1 \parallel B_1C_1$$, пусть $$b_1 \cap C_1D_1=P_1$$.
Соединим $$P_1$$ и $$Q_1$$. Тогда $$PP_1Q_1Q$$ — искомое сечение.
в) Прямые, по которым сечение пересекает грани параллелепипеда, параллельны сторонам сечения $$BB_1D_1$$.
Плоскость $$BDD_1$$ проходит через рёбра $$BB_1$$ и $$DD_1$$ и пересекает грани $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ по прямым $$BD$$ и $$B_1D_1$$.
Через точку $$M$$ проведём прямую $$m \parallel BB_1$$, пусть $$m \cap AB=K$$ и $$m \cap A_1B_1=K_1$$.
Через точку $$K$$ проведём прямую $$b \parallel BD$$, пусть $$b \cap AD=N$$.
Через точку $$K_1$$ проведём прямую $$b_1 \parallel B_1D_1$$, пусть $$b_1 \cap A_1D_1=N_1$$.
Соединим $$N_1$$ и $$K_1$$. Тогда $$NN_1K_1K$$ — искомое сечение.
