Упр.818 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O_1$$, а прямая $$BD$$ — касательная к окружности с центром $$O_2$$ (рис. 208). Докажите, что:
   а) $$AD \parallel BC$$;
   б) $$AB^2=AD\cdot BC$$;
   в) $$BD^2:AC^2=AD:BC$$.

Так как $$AC$$ и $$BD$$ — касательные к окружностям, то по теореме о касательной и хорде:

$$\angle DBA=\frac12\overset{\frown}{AMB}=\angle BCA,$$

$$\angle CAB=\frac12\overset{\frown}{ANB}=\angle ADB.$$

Тогда

$$\angle DAB=180^\circ-\angle ADB-\angle DBA=180^\circ-\angle CAB-\angle BCA=\angle ABC.$$

Следовательно, при секущей $$AB$$ углы $$\angle DAB$$ и $$\angle ABC$$ — накрест лежащие, значит,

$$AD\parallel BC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BAD$$ и $$CBA$$. У них

$$\angle DAB=\angle ABC,$$

$$\angle DBA=\angle BCA.$$

Значит, $$\triangle BAD\sim\triangle CBA$$, откуда

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BD}.$$

Из равенства $$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}$$ получаем

$$AB^2=AD\cdot BC.$$

Из равенства $$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BD}$$ имеем

$$\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{BC}.$$

Тогда

$$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{AD\cdot BC}{BC^2}=\frac{AD}{BC}.$$

Что и требовалось доказать.