Упр.816 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку D, лежащую на радиусе OA окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА — биссектриса угла СВЕ.

Подробный ответ

Рассмотрим угол между касательной $$BE$$ и хордой $$BA$$. По теореме об угле между касательной и хордой

$$\angle ABE=\frac12\overset{\frown}{BA}=\frac12\angle AOB.$$

Теперь рассмотрим угол между хордой $$BC$$ и лучом $$BA$$. Так как $$OA=OB=OC$$, то $$\triangle BOC$$ равнобедренный. Поскольку $$OD\perp BC$$, прямая $$OD$$ является высотой, а значит, и биссектрисой угла $$BOC$$. Следовательно,

$$\angle BOD=\angle DOC,$$

откуда

$$\angle BOC=2\angle BOD.$$

Но точки $$A, D, O$$ лежат на одной прямой, поэтому луч $$OD$$ совпадает с лучом $$OA$$, и значит

$$\angle BOC=2\angle BOA.$$

Тогда

$$\angle ABC=\frac12\overset{\frown}{AC}=\frac12\angle AOC.$$

Так как центральные углы $$\angle AOC$$ и $$\angle AOB$$ связаны через равные дуги, получаем

$$\angle ABC=\frac12\angle AOB.$$

Итак,

$$\angle ABE=\angle ABC.$$

Следовательно, луч $$BA$$ делит угол $$CBE$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$CBE$$.