Упр.816 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$D$$, лежащую на радиусе $$OA$$ окружности с центром $$O$$, проведена хорда $$BC$$, перпендикулярная к $$OA$$, а через точку $$B$$ проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $$OA$$ в точке $$E$$. Докажите, что луч $$BA$$ — биссектриса угла $$CBE$$.

Так как $$BE$$ — касательная к окружности в точке $$B$$, а $$BA$$ — хорда, то угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:

$$\angle ABE=\frac12\overset{\frown}{AB}=\frac12\angle AOB.$$

Рассмотрим треугольник $$BOC$$. Так как $$OB=OC$$ как радиусы одной окружности, то $$\triangle BOC$$ равнобедренный. По условию $$OD\perp BC$$, значит в равнобедренном треугольнике $$BOC$$ прямая $$OD$$ является также биссектрисой угла при вершине $$O$$. Следовательно,

$$\angle BOD=\angle DOC,$$

а значит, луч $$OA$$, проходящий через точку $$D$$, делит угол $$BOC$$ пополам. Поэтому

$$\angle AOC=\frac12\angle BOC.$$

Но в окружности центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, поэтому

$$\angle ABC=\frac12\overset{\frown}{AC}=\frac12\angle AOC=\frac12\angle BOA.$$

Сравнивая полученные равенства, имеем

$$\angle ABE=\angle ABC.$$

Следовательно, луч $$BA$$ делит угол $$CBE$$ пополам, то есть $$BA$$ — биссектриса угла $$CBE$$.

Ответ

$$BA$$ — биссектриса угла $$CBE$$.