Упр.815 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении $$2:1$$, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).
Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот тетраэдра, а через $$Q$$ — центр искомой сферы. Покажем, что можно взять
$$\overrightarrow{HQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HG}.$$
Тогда $$Q$$ лежит на прямой Эйлера тетраэдра, так как точки $$H$$, $$G$$ и $$Q$$ коллинеарны.
Пусть $$B_1$$ — основание высоты, опущенной из вершины $$A_1$$. Тогда в треугольнике $$A_1H A_1$$ точка $$B_1$$ делит отрезок $$A_1H$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому
$$\overrightarrow{HB_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HA_1}.$$
Пусть $$M_1$$ — точка пересечения медиан грани $$A_2A_3A_4$$. Тогда $$M_1$$ — центроид этого треугольника, и
$$\overrightarrow{HM_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right).$$
Кроме того, для центра тяжести тетраэдра $$G$$ известно, что
$$\overrightarrow{HG}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{HA_1}+\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right).$$
Тогда
$$\overrightarrow{QM_1} =\overrightarrow{HM_1}-\overrightarrow{HQ} =\overrightarrow{HM_1}-\frac{2}{3}\overrightarrow{HG} =\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}-\overrightarrow{HA_1}\right),$$
а аналогично
$$\overrightarrow{QB_1} =\overrightarrow{HB_1}-\overrightarrow{HQ} =\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{HA_1}-\overrightarrow{HA_2}-\overrightarrow{HA_3}-\overrightarrow{HA_4}\right).$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{QM_1}=-\overrightarrow{QB_1},$$
то есть точки $$M_1$$ и $$B_1$$ являются концами диаметра сферы с центром в $$Q$$.
Аналогично получаем, что на этой же сфере лежат точки $$M_2, M_3, M_4$$ и $$B_2, B_3, B_4$$.
Теперь рассмотрим основания высот. Так как $$B_1\in A_1H$$ и $$H_1$$ — основание высоты из $$A_1$$ на грань $$A_2A_3A_4$$, то точки $$B_1, H_1, M_1$$ лежат в одной плоскости, а из равенства $$\overrightarrow{QM_1}=-\overrightarrow{QB_1}$$ следует, что $$H_1$$ также принадлежит этой сфере. Аналогично на сфере лежат $$H_2, H_3, H_4$$.
Итак, точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, делящие отрезки $$HA_i$$ в отношении $$2:1$$, лежат на одной сфере, центр которой находится на прямой Эйлера.
