Упр.815 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот тетраэдра, а через $$Q$$ — точку на прямой Эйлера, для которой

$$\overrightarrow{HQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HG}.$$

Здесь $$G$$ — центр тяжести тетраэдра. Из известного свойства центра тяжести тетраэдра имеем

$$\overrightarrow{HG}=\frac14\left(\overrightarrow{HA_1}+\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right).$$

Пусть $$B_1,B_2,B_3,B_4$$ — точки пересечения высоты $$HA_1,HA_2,HA_3,HA_4$$ с противоположными гранями, а $$M_1,M_2,M_3,M_4$$ — точки пересечения медиан этих граней. Тогда для каждой высоты, например для $$HA_1$$, точка $$B_1$$ делит её в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому

$$\overrightarrow{HB_1}=\frac13\overrightarrow{HA_1}.$$

Точка $$M_1$$ — центроид грани $$A_2A_3A_4$$, значит

$$\overrightarrow{HM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right).$$

Тогда

$$ \overrightarrow{QM_1} =\overrightarrow{HM_1}-\overrightarrow{HQ} =\overrightarrow{HM_1}-\frac23\overrightarrow{HG} =\frac16\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}-\overrightarrow{HA_1}\right), $$

и аналогично

$$ \overrightarrow{QB_1} =\overrightarrow{HB_1}-\overrightarrow{HQ} =\frac16\left(\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}-\overrightarrow{HA_1}\right). $$

Следовательно, $$\overrightarrow{QM_1}=\overrightarrow{QB_1}$$, а значит, точки $$M_1$$ и $$B_1$$ лежат на сфере с центром в точке $$Q$$. Аналогично получаем, что на этой же сфере лежат пары точек $$M_2,B_2$$, $$M_3,B_3$$, $$M_4,B_4$$.

Остаётся показать, что точки $$H_1,H_2,H_3,H_4$$ также принадлежат этой сфере. Для этого заметим, что для любой грани, например $$A_2A_3A_4$$, точки $$H_1$$ и $$M_1$$ лежат в этой грани, а точка $$B_1$$ лежит на высоте $$A_1H_1$$. Так как $$\overrightarrow{QM_1}=\overrightarrow{QB_1}$$, то $$M_1$$ и $$B_1$$ — концы диаметра сферы, а значит, точка $$H_1$$, лежащая на соответствующей плоскости грани и на прямой Эйлера, также принадлежит этой сфере. Аналогично для $$H_2,H_3,H_4$$.

Итак, точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, делящие отрезки $$HA_i$$ в отношении $$2:1$$, лежат на одной сфере. Её центр $$Q$$ лежит на прямой Эйлера, поэтому эта сфера и есть сфера Эйлера тетраэдра.