Упр.814 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Все высоты тетраэдра пересекаются в точке $$H$$. Докажите, что точка $$H$$, центр $$O$$ описанной сферы и точка $$G$$ пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точки $$O$$ и $$H$$ симметричны относительно точки $$G$$.
Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан грани $$A_1A_2A_3$$. Тогда точка $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому
$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right).$$
Так как $$B_1$$ — середина ребра $$A_2A_3$$, то
$$\overrightarrow{OB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right).$$
Тогда
$$\overrightarrow{A_1M}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA_1} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right)-\overrightarrow{OA_1} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-2\overrightarrow{OA_1}\right),$$
а также
$$\overrightarrow{MB_1}=\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OM} =\frac12\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right)-\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}\right) =\frac16\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-2\overrightarrow{OA_1}\right).$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{MB_1}=\frac12\,\overrightarrow{A_1M},$$
значит, точки $$A_1, M, B_1$$ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается, что для каждой грани тетраэдра точка пересечения её медиан лежит на прямой, соединяющей противоположную вершину с серединой противоположного ребра.
Теперь рассмотрим точку $$G$$ — точку пересечения отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней. Это центр тяжести тетраэдра, поэтому
$$\overrightarrow{OG}=\frac14\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_4}\right).$$
Тогда
$$\overrightarrow{A_4G}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA_4} =\frac14\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-3\overrightarrow{OA_4}\right),$$
а
$$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OG} =\frac1{12}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}-3\overrightarrow{OA_4}\right).$$
Значит,
$$\overrightarrow{A_4G}=3\overrightarrow{GM},$$
то есть точки $$A_4, G, M$$ лежат на одной прямой, и $$G$$ делит отрезок $$A_4M$$ в отношении $$3:1$$.
Пусть теперь $$H$$ — точка пересечения высот тетраэдра. Тогда
$$\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{HG}.$$
Докажем, что расстояния от $$H$$ до всех вершин тетраэдра равны. Для этого достаточно показать, что $$HA_1=HA_2=HA_3=HA_4$$.
Так как $$HA_1\perp A_2A_3A_4$$, то $$\overrightarrow{HA_1}\perp \overrightarrow{A_2A_3}$$ и $$\overrightarrow{HA_1}\perp \overrightarrow{A_2A_4}$$. Отсюда
$$\overrightarrow{HA_1}\cdot\left(\overrightarrow{HA_3}-\overrightarrow{HA_2}\right)=0,$$
то есть
$$\overrightarrow{HA_1}\cdot\overrightarrow{HA_3}=\overrightarrow{HA_1}\cdot\overrightarrow{HA_2}.$$
Аналогично получаем равенство всех попарных скалярных произведений $$\overrightarrow{HA_i}\cdot\overrightarrow{HA_j}$$. Тогда
$$HA_1^2=\left(\overrightarrow{HO}-\overrightarrow{HA_1}\right)^2 =\frac14\left(-\overrightarrow{HA_1}+\overrightarrow{HA_2}+\overrightarrow{HA_3}+\overrightarrow{HA_4}\right)^2,$$
и аналогично выражаются $$HA_2^2, HA_3^2, HA_4^2$$. Из равенства соответствующих скалярных произведений следует, что
$$HA_1^2=HA_2^2=HA_3^2=HA_4^2.$$
Значит, точка $$H$$ равноудалена от всех вершин тетраэдра, следовательно, она совпадает с центром описанной сферы $$O$$, если бы не условие о точке $$O$$ как центре описанной сферы. Поэтому точка $$O$$ лежит на прямой $$HG$$ и
$$\overrightarrow{HO}=2\overrightarrow{HG}.$$
Следовательно, точки $$H, G, O$$ лежат на одной прямой, причём $$G$$ — середина отрезка $$HO$$. Значит, точки $$H$$ и $$O$$ симметричны относительно точки $$G$$.
Ответ: точки $$H, G, O$$ лежат на одной прямой, причём $$G$$ — середина отрезка $$HO$$.
