Упр.813 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объёму части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

Подробный ответ

Обозначим через $$R$$ радиус шара, а через $$\alpha$$ — угол между хордой и диаметром. Пусть $$AB$$ — диаметр полукруга, $$O$$ — его середина, тогда $$O$$ — центр шара. Проведём $$OK \perp BC$$ и $$CD \perp AB$$.

Тело, полученное вращением дуги $$BC$$ вокруг $$AB$$, равно разности объёма шарового сегмента и объёма конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника $$BCD$$.

Тогда

$$V=\pi \cdot BD^2\left(R-\frac{BD}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\cdot DC^2\cdot BD.$$

Из треугольника $$BKC$$ имеем:

$$BC=2BK=2R\cos\alpha,$$
$$BD=BC\cos\alpha=2R\cos^2\alpha,$$
$$DC=BC\sin\alpha=2R\cos\alpha\sin\alpha.$$

Подставим:

$$ V=\pi\cdot (2R\cos^2\alpha)^2\left(R-\frac{2R\cos^2\alpha}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\cdot (2R\cos\alpha\sin\alpha)^2\cdot 2R\cos^2\alpha. $$

После упрощения получаем:

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha.$$

По условию эта часть шара составляет половину его объёма, значит

$$\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3.$$

Отсюда

$$\cos^4\alpha=\frac{1}{2},$$
$$\cos\alpha=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}.$$