Упр.813 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объёму части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — диаметр полукруга, $$O$$ — его середина, тогда $$O$$ — центр шара. Обозначим $$\angle CBA=\alpha$$. Проведём $$OK\perp BC$$ и $$CD\perp AB$$.

Объём тела, полученного вращением дуги $$BC$$ вокруг $$AB$$, равен разности объёма шарового сегмента и объёма конуса, полученного вращением треугольника $$BCD$$:

$$V=\pi\cdot BD^2\left(R-\frac{BD}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\cdot DC^2\cdot BD.$$

Из прямоугольного треугольника $$BKC$$ имеем:

$$BC=2BK=2R\cos\alpha,$$

$$BD=BC\cos\alpha=2R\cos^2\alpha,$$

$$DC=BC\sin\alpha=2R\cos\alpha\sin\alpha.$$

Подставим:

$$\begin{aligned} V&=\pi\cdot (2R\cos^2\alpha)^2\left(R-\frac{2R\cos^2\alpha}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\cdot (2R\cos\alpha\sin\alpha)^2\cdot 2R\cos^2\alpha\\ &=\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha. \end{aligned}$$

По условию этот объём равен половине объёма шара:

$$V=\frac12\cdot \frac{4}{3}\pi R^3.$$

Тогда

$$\frac{4}{3}\pi R^3\cos^4\alpha=\frac12\cdot \frac{4}{3}\pi R^3,$$

откуда

$$\cos^4\alpha=\frac12,$$

$$\cos\alpha=\sqrt[4]{\frac12}.$$