Упр.812 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Правильная четырёхугольная пирамида, у которой сторона основания равна a, а плоский угол при вершине равен ?, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела вращения.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_2$$ и $$B_2$$ середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ квадрата $$ABCD$$. Из этих точек опустим перпендикуляры $$A_2A_0$$ и $$B_2B_0$$ на прямую $$b$$, а из вершины $$M$$ опустим перпендикуляр $$MH$$ на ребро $$AB$$.

При вращении пирамиды вокруг прямой $$b$$ отрезки $$A_0A$$, $$MH$$ и $$B_0B$$, перпендикулярные оси вращения, займут положения $$A_0A_1$$, $$MH_1$$ и $$B_0B_1$$. Поэтому тело, полученное вращением пирамиды, совпадает с телом, полученным вращением многоугольника $$A_1A_2B_2B_1M$$.

Его объём равен разности объёма цилиндра, полученного вращением прямоугольника $$A_1B_1B_0A_0$$, и объёмов двух конусов, полученных вращением треугольников $$A_2A_0M$$ и $$B_2B_0M$$.

Найдём нужные размеры. В прямоугольном треугольнике $$AMH$$:

$$MH=AH\cdot \ctg \angle AMH=\frac{a}{2}\ctg \frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OMH$$:

$$ OM=\sqrt{MH^2-OH^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{a^2}{4}} $$

$$ OM=\frac{a}{2}\sqrt{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-1} =\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}. $$

Так как $$MH=MH_1$$, $$OM=A_2A_0$$, $$A_0B_0=AB=a$$ и $$A_0M=\frac{a}{2}$$, то

$$ V=\pi (MH_1)^2\cdot A_0B_0-2\cdot \frac{1}{3}\pi (A_2A_0)^2\cdot A_0M. $$

Подставим найденные значения:

$$ V=\pi \left(\frac{a}{2}\ctg \frac{\alpha}{2}\right)^2 a -2\cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2 \cdot \frac{a}{2}. $$

После упрощения получаем:

$$ V=\frac{\pi a^3}{12}\left(3\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{\cos \alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}\right). $$