Упр.812 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Правильная четырёхугольная пирамида, у которой сторона основания равна $$a$$, а плоский угол при вершине равен $$?$$, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела вращения.
Обозначим через $$A_2$$ и $$B_2$$ середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ квадрата $$ABCD$$. Из этих точек опустим перпендикуляры $$A_2A_0$$ и $$B_2B_0$$ на прямую $$b$$, а также опустим перпендикуляр $$MH$$ на ребро $$AB$$.
При вращении пирамиды вокруг прямой $$b$$ отрезки $$A_0A$$, $$MH$$ и $$B_0B$$, перпендикулярные прямой $$b$$, займут положения $$A_0A_1$$, $$MH_1$$ и $$B_0B_1$$. Поэтому тело, полученное вращением пирамиды $$MABCD$$, совпадает с телом, полученным вращением многоугольника $$A_1A_2B_1B_2M$$.
Его объём равен разности объёма цилиндра, полученного вращением прямоугольника $$A_1B_1B_0A_0$$, и объёмов двух конусов, полученных вращением треугольников $$A_2A_0M$$ и $$B_2B_0M$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMH$$. Так как $$H$$ — середина ребра $$AB$$, то $$AH=\dfrac a2$$, а значит
$$MH=AH\cdot \ctg \frac{\alpha}{2}=\frac a2\ctg \frac{\alpha}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$OMH$$ имеем
$$OM=\sqrt{MH^2-OH^2} =\sqrt{\frac{a^2}{4}\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Теперь найдём объём тела вращения:
$$V=\pi (MH)^2\cdot AB-2\cdot \frac13 \pi (OM)^2\cdot \frac a2.$$
Подставим найденные значения:
$$V=\pi \left(\frac a2\ctg \frac{\alpha}{2}\right)^2 a -\frac23 \pi \left(\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2 \cdot \frac a2.$$
После упрощения получаем
$$V=\frac{\pi a^3}{12}\left(3\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{\cos \alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}\right).$$
Ответ: $$\frac{\pi a^3}{12}\left(3\ctg^2\frac{\alpha}{2}-\frac{\cos \alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}\right).$$
