Упр.811 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В конус вписан шар. Докажите, что отношение объёмов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Получим равнобедренный треугольник $$AMB$$, в который вписана окружность радиуса $$R$$ — сечение шара.
Обозначим: $$MH=h$$ — высота конуса, $$AH=HB=r$$ — радиус основания конуса, $$OM=R$$, где $$O$$ — центр шара, $$K$$ — точка касания окружности со стороной $$AM$$.
Тогда площадь полной поверхности конуса равна
$$S_{\text{кон}}=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l),$$
а площадь поверхности шара
$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{\text{кон}}}{S_{\text{шара}}}=\frac{\pi r(r+l)}{4\pi R^2}=\frac{r(r+l)}{4R^2}.$$
Теперь докажем, что это же отношение равно отношению объёмов.
Из подобия треугольников $$\triangle AMH$$ и $$\triangle MOK$$ имеем
$$\frac{AH}{AM}=\frac{OK}{OM}.$$
Так как $$AH=r$$, $$AM=l$$, $$OK=R$$, $$OM=h-R$$, то
$$\frac{r}{l}=\frac{R}{h-R}.$$
Отсюда
$$r(h-R)=lR,$$
$$rh=(r+l)R.$$
Теперь найдём отношение объёмов:
$$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi r^2h,\qquad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$
Тогда
$$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{r^2h}{4R^3}.$$
Подставим $$rh=(r+l)R$$:
$$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{r(r+l)R}{4R^3}=\frac{r(r+l)}{4R^2}.$$
Итак,
$$\frac{V_{\text{кон}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{S_{\text{кон}}}{S_{\text{шара}}}.$$
Что и требовалось доказать.
