Упр.810 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вокруг данного шара описан конус с углом ? при вершине осевого сечения. При каком значении ? конус имеет наименьший объём?

Рассмотрим осевое сечение конуса $$AMB$$. Тогда $$AM=MB$$, а значит, $$\triangle AMB$$ — равнобедренный. Обозначим $$MH$$ — высоту этого треугольника, $$H$$ — середину основания $$AB$$. Центр вписанного в $$\triangle AMB$$ круга лежит на $$MH$$, поэтому $$OH$$ — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно записать двумя способами:

$$ S_{AMB}=\frac12(AB+AM+MB)\cdot OH=\frac12\cdot AB\cdot MH. $$

Так как $$AB=2AH$$, а $$AM=\sqrt{MH^2+AH^2}$$, получаем

$$ (AH+\sqrt{MH^2+AH^2})\cdot OH=AH\cdot MH. $$

Отсюда

$$ OH\sqrt{MH^2+AH^2}=AH(MH-OH), $$

$$ OH^2(MH^2+AH^2)=AH^2(MH-2OH)^2. $$

После преобразований:

$$ MH\cdot OH^2=AH^2(MH-2OH), $$

$$ AH^2=\frac{OH^2\cdot MH}{MH-2OH}. $$

Объём конуса равен

$$ V=\frac13\pi AH^2\cdot MH=\frac13\pi\cdot \frac{MH^2\cdot OH^2}{MH-2OH}. $$

Рассмотрим $$V$$ как функцию от $$MH$$. Тогда

$$ V’=\frac13\pi\cdot OH^2\cdot \frac{2MH(MH-2OH)-MH^2}{(MH-2OH)^2}. $$

Для минимума объёма нужно, чтобы $$V’=0$$:

$$ 2MH(MH-2OH)-MH^2=0, $$

$$ MH=4OH. $$

Тогда

$$ AH^2=\frac{OH^2\cdot 4OH}{4OH-2OH}=2OH^2, $$

а в прямоугольном треугольнике $$AMH$$ имеем

$$ AM=\sqrt{MH^2+AH^2}=\sqrt{(4OH)^2+2OH^2}=3OH\sqrt2. $$

Угол при вершине осевого сечения равен $$\angle AMB=a$$, поэтому

$$ \angle AMH=\frac12\angle AMB=\frac a2. $$

Тогда

$$ \sin\frac a2=\frac{AH}{AM}=\frac{\sqrt2\,OH}{3OH\sqrt2}=\frac13. $$

Следовательно,

$$ \frac a2=\arcsin\frac13, $$

откуда

$$ a=2\arcsin\frac13. $$

Ответ

$$a=2\arcsin\frac13$$