Упр.810 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вокруг данного шара описан конус с углом $$?$$ при вершине осевого сечения. При каком значении $$?$$ конус имеет наименьший объём?

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник $$AMB$$, в который вписана окружность шара. Обозначим $$MH$$ — высоту треугольника, $$AH$$ — половину основания, $$OH$$ — радиус вписанной окружности.

Тогда площадь треугольника можно записать двумя способами:

$$S_{AMB}=\frac12(AB+AM+MB)\cdot OH$$

и, так как $$AM=MB$$,

$$S_{AMB}=\frac12(AB+2AM)\cdot OH=\frac12\cdot AB\cdot MH.$$

Поскольку $$AB=2AH$$, а $$AM=\sqrt{MH^2+AH^2}$$, получаем

$$(AH+\sqrt{MH^2+AH^2})\cdot OH=AH\cdot MH.$$

Отсюда

$$OH\sqrt{MH^2+AH^2}=AH(MH-OH),$$

$$OH^2(MH^2+AH^2)=AH^2(MH-2OH)^2.$$

После преобразований

$$MH\cdot OH^2=AH^2(MH-2OH),$$

то есть

$$AH^2=\frac{OH^2\cdot MH}{MH-2OH}.$$

Объём конуса равен

$$V=\frac13\pi AH^2\cdot MH=\frac13\pi\cdot \frac{MH^2\cdot OH^2}{MH-2OH}.$$

Так как $$OH$$ — радиус шара, то он постоянен, и для минимума объёма достаточно исследовать функцию

$$f(MH)=\frac{MH^2}{MH-2OH}.$$

Найдём производную:

$$f'(MH)=\frac{2MH(MH-2OH)-MH^2}{(MH-2OH)^2}.$$

Приравниваем числитель к нулю:

$$2MH(MH-2OH)-MH^2=0,$$

$$MH=4OH.$$

Значит, минимум объёма достигается при $$MH=4OH$$. Тогда

$$AH^2=\frac{OH^2\cdot 4OH}{4OH-2OH}=2OH^2,$$

следовательно, в прямоугольном треугольнике $$AMH$$

$$AM=\sqrt{MH^2+AH^2}=\sqrt{16OH^2+2OH^2}=3OH\sqrt2.$$

Угол при вершине конуса равен $$\angle AMB=a$$, а $$MH$$ — биссектриса этого угла, значит

$$\angle AMH=\frac a2.$$

Тогда

$$\sin\frac a2=\frac{AH}{AM}=\frac{\sqrt2\,OH}{3\sqrt2\,OH}=\frac13.$$

Следовательно,

$$\frac a2=\arcsin\frac13,\qquad a=2\arcsin\frac13.$$

Ответ: $$a=2\arcsin\frac13$$.