Упр.809 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объём общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен $$1\text{ см}$$.

Подробный ответ

Расположим оси координат так, чтобы $$OX$$ совпадала с осью первого цилиндра, а $$OZ$$ — с осью второго. Тогда боковые поверхности цилиндров задаются уравнениями

$$x^2+z^2=1,\qquad x^2+y^2=1.$$

Общая часть цилиндров лежит в восьми равных октантах, поэтому достаточно найти её объём в первом октанте и затем умножить на $$8$$.

В первом октанте при фиксированном $$x$$ имеем

$$y=\sqrt{1-x^2},\qquad z=\sqrt{1-x^2}.$$

Значит, сечение общей части плоскостью, перпендикулярной оси $$OX$$, — квадрат со стороной $$\sqrt{1-x^2}$$, а его площадь равна

$$S(x)=\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=1-x^2.$$

Тогда объём части в первом октанте:

$$V_1=\int_0^1 (1-x^2)\,dx =\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac13=\frac23.$$

Следовательно, объём всей общей части цилиндров равен

$$V=8V_1=8\cdot\frac23=\frac{16}{3}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$\frac{16}{3}\ \text{см}^3$$.