Упр.809 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объём общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

Подробный ответ

Направим оси координат так, чтобы $$OX$$ совпадала с осью первого цилиндра, а $$OZ$$ — с осью второго цилиндра. Тогда $$OY \perp OX$$ и $$OY \perp OZ$$.

Так как оси цилиндров пересекаются под прямым углом и точка их пересечения равноудалена от оснований, то в выбранной системе координат боковые поверхности цилиндров задаются уравнениями

$$x^2+z^2=1,\qquad x^2+y^2=1.$$

Следовательно, для общей части цилиндров при фиксированном $$x$$ имеем

$$y=z=\sqrt{1-x^2}.$$

Рассмотрим сечение общей части плоскостью, перпендикулярной оси $$OX$$. В первом октанте это квадрат со стороной $$\sqrt{1-x^2}$$, значит его площадь равна

$$S(x)=\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=1-x^2.$$

Тогда объём общей части в первом октанте равен

$$ V_1=\int_0^1 (1-x^2)\,dx = \left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac13 =\frac23. $$

Вся общая часть состоит из восьми равных частей, поэтому

$$ V=8V_1=8\cdot \frac23=\frac{16}{3}. $$