Упр.808 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что $$V=\frac{h}{6}(S_1+S_2+4S_3),$$ где $$V$$ — объём многогранника, $$h$$ — его высота, $$S_1$$ и $$S_2$$ — площади оснований, а $$S_3$$ — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудалённой от них.

Возьмём точку $$O$$ внутри сечения плоскостью $$\gamma$$ и разобьём многогранник на пирамиды с вершиной $$O$$, основаниями которых служат основания и боковые грани многогранника.

Поскольку плоскость $$\gamma$$ равноудалена от плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$, высоты пирамид с основаниями в этих плоскостях равны $$\frac h2$$. Поэтому

$$V_1=\frac13 S_1\cdot \frac h2=\frac{S_1h}{6},\qquad V_2=\frac13 S_2\cdot \frac h2=\frac{S_2h}{6}.$$

Теперь рассмотрим боковую грань. Если она треугольная, то плоскость $$\gamma$$ пересекает её по отрезку, параллельному одной из сторон, и делит треугольник на две части так, что площадь сечения этой грани равна половине площади грани. Тогда сумма площадей оснований пирамид, построенных на этой грани, равна площади соответствующего сечения плоскостью $$\gamma$$.

Если боковая грань — четырёхугольник, то её можно разбить диагональю на два треугольника. Для каждого из них рассуждение такое же, поэтому и в этом случае сумма площадей оснований пирамид, построенных на боковых гранях, равна $$S_3$$.

Так как высота всех этих пирамид равна $$h$$, их суммарный объём равен

$$V_3=\frac13 S_3\cdot h=\frac{4S_3h}{6}.$$

Следовательно, объём всего многогранника равен

$$V=V_1+V_2+V_3 =\frac{S_1h}{6}+\frac{S_2h}{6}+\frac{4S_3h}{6} =\frac h6\,(S_1+S_2+4S_3).$$

Что и требовалось доказать.