Упр.807 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины рёбер $$DC$$ и $$BB_1$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребром 1 см. Найдите объём тетраэдра $$AD_1EF$$.

Рассмотрим тетраэдр $$AD_1EF$$. Его противоположные рёбра $$AF$$ и $$D_1E$$, а расстояние между ними равно $$AD$$, так как $$AF$$ лежит в плоскости $$AA_1BB_1$$, а $$D_1E$$ — в плоскости $$DD_1CC_1$$, и эти плоскости параллельны.

Обозначим $$AF=a$$, $$D_1E=b$$, $$AD=c$$. Тогда по формуле для объёма тетраэдра со скрещивающимися рёбрами

$$V=\frac{abc\sin\varphi}{6},$$

где $$\varphi$$ — угол между прямыми $$AF$$ и $$D_1E$$.

Найдём нужные величины.

Так как $$AB=1$$ и $$BF=FB_1=\frac12$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABF$$

$$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

Аналогично, поскольку $$DD_1=1$$ и $$DE=EC=\frac12$$, в прямоугольном треугольнике $$DD_1E$$

$$D_1E=\sqrt{DD_1^2+DE^2}=\sqrt{1+\frac14}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

Кроме того, $$AD=1$$.

Чтобы найти угол $$\varphi$$, отметим точку $$F_1$$ на ребре $$CC_1$$ так, чтобы $$CF_1=C_1F_1$$, и рассмотрим точку $$M=D_1E\cap DF_1$$. Тогда $$DF_1\parallel AF$$, а угол между скрещивающимися прямыми $$AF$$ и $$D_1E$$ равен $$\angle DMD_1$$.

Треугольники $$DD_1E$$ и $$DCF_1$$ равны по двум катетам, значит $$\angle CDF_1=\angle DD_1E$$. Тогда

$$\angle DMD_1=180^\circ-\angle DD_1E-\angle D_1DM=180^\circ-\angle CDF_1-(90^\circ-\angle CDF_1)=90^\circ,$$

следовательно,

$$\sin\varphi=\sin 90^\circ=1.$$

Теперь вычислим объём:

$$V=\frac{abc\sin\varphi}{6} =\frac{\frac{\sqrt5}{2}\cdot \frac{\sqrt5}{2}\cdot 1\cdot 1}{6} =\frac{5}{24}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$\frac{5}{24}\text{ см}^3$$.