Упр.806 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объём тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D.

Подробный ответ

Обозначим через $$\alpha$$ плоскость, проходящую через прямую $$b$$ и точку $$C$$, а через $$\beta$$ — плоскость, проходящую через прямые $$c$$ и $$d$$.

Так как $$b \parallel c \parallel d$$ и прямые $$b$$, $$c$$, $$d$$ не лежат в одной плоскости, то плоскость $$\alpha$$ содержит прямую $$b$$ и точку $$C \in c$$, а плоскость $$\beta$$ содержит прямые $$c$$ и $$d$$.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда высота тетраэдра $$ABCD$$ равна $$DH$$.

Поскольку $$d \parallel b$$ и $$b \subset \alpha$$, то прямая $$d$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Следовательно, расстояние от любой точки $$D \in d$$ до плоскости $$ABC \subset \alpha$$ постоянно, то есть $$DH$$ не зависит от выбора точки $$D$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Его основание $$AB$$ лежит на прямой $$b$$, а точка $$C$$ лежит на прямой $$c$$, причём $$b \parallel c$$. Значит, высота треугольника $$ABC$$, опущенная из точки $$C$$ на прямую $$AB$$, равна расстоянию между параллельными прямыми $$b$$ и $$c$$ и не зависит от положения точки $$C$$. Поэтому площадь треугольника $$ABC$$ постоянна:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot h=\text{const}.$$

Тогда объём тетраэдра $$ABCD$$ равен

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{ABC}\cdot DH.$$

Так как и $$S_{ABC}$$, и $$DH$$ не зависят от выбора точек $$C$$ и $$D$$, то объём $$V_{ABCD}$$ также не зависит от этих точек.