Упр.806 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок $$AB$$, а на двух других — точки $$C$$ и $$D$$ соответственно. Докажите, что объём тетраэдра $$ABCD$$ не зависит от выбора точек $$C$$ и $$D$$.

Пусть через прямые $$c$$ и $$d$$ проходит плоскость $$\beta$$, а через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — плоскость $$\alpha$$.

Так как $$b \parallel c \parallel d$$, то прямая $$b$$ параллельна плоскости $$\beta$$, а точки $$A$$ и $$B$$ лежат на прямой $$b$$. Следовательно, расстояние от любой точки прямой $$b$$ до плоскости $$\beta$$ одно и то же.

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DH$$ на плоскость $$ABC$$. Поскольку $$D \in d$$ и $$d \parallel \alpha$$, длина $$DH$$ не зависит от выбора точки $$D$$.

Теперь рассмотрим площадь основания $$\triangle ABC$$. Так как $$A,B \in b$$, а $$C \in c$$ и $$b \parallel c$$, то высота, опущенная из точки $$C$$ на прямую $$AB$$, не зависит от положения точки $$C$$. Основание $$AB$$ тоже фиксировано, значит

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AB \cdot h=\text{const}.$$

Тогда объём тетраэдра $$ABCD$$ равен

$$V_{ABCD}=\frac13 S_{ABC}\cdot DH.$$

Обе величины $$S_{ABC}$$ и $$DH$$ не зависят от выбора точек $$C$$ и $$D$$, значит и объём тетраэдра $$ABCD$$ постоянен.

Следовательно, $$V_{ABCD}$$ не зависит от выбора точек $$C$$ и $$D$$.