Упр.805 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD?

Подробный ответ

Обозначим объём всей пирамиды $$OABCD$$ через $$V$$. Опустим высоту $$OO_1$$ на плоскость основания $$ABCD$$.

Плоскость проходит через ребро $$AB$$ и среднюю линию $$MN$$ грани $$OCD$$, где $$M$$ — середина $$OD$$, $$N$$ — середина $$OC$$. Эта плоскость отсекает от пирамиды тетраэдр $$ABMNO$$.

Рассмотрим его объём по частям.

1) Так как $$N$$ — середина $$OC$$, а $$NN_1 \perp ABCD$$ и $$OO_1 \perp ABCD$$, то

$$NN_1=\frac12\,OO_1.$$

Треугольники $$ABC$$ и $$ABCD$$ имеют площади

$$S_{ABC}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Значит,

$$V_{ABCN}=\frac12\cdot \frac12\,V=\frac14V.$$

2) В треугольнике $$OBC$$ точка $$N$$ — середина $$OC$$, поэтому $$BN$$ — медиана. Треугольники $$BNO$$ и $$BCN$$ имеют равные основания $$BN$$ и общую высоту из точки $$A$$ к плоскости $$OBC$$, следовательно, их площади равны, а значит, равны и объёмы соответствующих пирамид:

$$V_{ABNO}=V_{ABCN}=\frac14V.$$

3) Так как $$AC$$ — диагональ параллелограмма $$ABCD$$, то

$$S_{ACD}=\frac12 S_{ABCD},$$

следовательно,

$$V_{AOCD}=\frac12V.$$

4) В треугольнике $$OCD$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, поэтому

$$S_{OMN}=\frac14 S_{OCD}.$$

Тогда, поскольку высота из точки $$A$$ к плоскости $$OCD$$ у пирамид $$AOCD$$ и $$AOMN$$ одна и та же, получаем

$$V_{AOMN}=\frac14V_{AOCD}=\frac18V.$$

5) Тогда объём отсечённой части равен

$$V_{ABMNO}=V_{ABNO}+V_{AOMN}=\frac14V+\frac18V=\frac38V.$$

Оставшаяся часть пирамиды имеет объём