Упр.805 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды $$OABCD$$ является параллелограмм $$ABCD$$. В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, проходящая через прямую $$AB$$ и среднюю линию грани $$OCD$$?

Подробный ответ

Пусть $$V$$ — объём всей пирамиды $$OABCD$$. Опустим высоту $$OO_1 \perp ABCD$$.

Плоскость проходит через прямую $$AB$$ и среднюю линию $$MN$$ грани $$OCD$$, поэтому она отсекает от пирамиды тело $$ABMNO$$.

Рассмотрим его объём по частям.

Так как $$N$$ — середина ребра $$OC$$, а $$NN_1 \perp ABCD$$, то высота пирамиды $$ABCN$$ вдвое меньше высоты всей пирамиды, а площадь основания $$\triangle ABC$$ составляет половину площади параллелограмма $$ABCD$$. Значит,

$$V_{ABCN}=\frac12\cdot\frac12V=\frac14V.$$

В треугольнике $$OBC$$ отрезок $$BN$$ — медиана, поэтому площади треугольников $$BNO$$ и $$BCN$$ равны. Следовательно, пирамиды с общим основанием и одинаковой высотой имеют равные объёмы:

$$V_{ABNO}=V_{ABCN}=\frac14V.$$

Теперь найдём объём пирамиды $$AOMN$$. Поскольку $$MN$$ — средняя линия треугольника $$OCD$$, то

$$S_{OMN}=\frac14S_{OCD}.$$

При этом высота из точки $$A$$ к плоскости $$OCD$$ у пирамид $$AOMN$$ и $$AOCD$$ одна и та же, значит

$$V_{AOMN}=\frac14V_{AOCD}.$$

Но треугольник $$ACD$$ составляет половину параллелограмма $$ABCD$$, поэтому

$$V_{AOCD}=\frac12V.$$

Тогда

$$V_{AOMN}=\frac14\cdot\frac12V=\frac18V.$$

Следовательно,

$$V_{ABMNO}=V_{ABNO}+V_{AOMN}=\frac14V+\frac18V=\frac38V.$$

Оставшаяся часть пирамиды имеет объём