Упр.804 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.
Пусть плоскость сечения проходит через ребро $$AB$$ и середину $$M$$ противоположного ребра $$CD$$ тетраэдра $$ABCD$$. Обозначим через $$H$$ и $$H_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$D$$ и $$M$$ на плоскость $$ABC$$.
Тогда $$DH \perp ABC$$ и $$MH_1 \perp ABC$$, значит, $$DH \parallel MH_1$$.
Рассмотрим треугольник $$D C B$$. Точка $$M$$ — середина ребра $$CD$$, а прямая, проходящая через $$M$$ и параллельная $$DH$$, пересекает плоскость $$ABC$$ в точке $$H_1$$. Следовательно, в треугольнике $$DHB$$ отрезок $$MH_1$$ является средней линией, поэтому
$$MH_1=\frac{1}{2}DH.$$
Теперь вычислим объёмы тетраэдров $$ABCD$$ и $$ABCM$$ через общую площадь основания $$S_{ABC}$$:
$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DH,$$
$$V_{ABCM}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot MH_1.$$
Подставляя $$MH_1=\frac{1}{2}DH$$, получаем
$$V_{ABCM}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot \frac{1}{2}DH=\frac{1}{2}V_{ABCD}.$$
Аналогично для второй части тетраэдра получаем такой же объём, значит, плоскость делит тетраэдр на две части равных объёмов.
Ответ: $$V_1=V_2$$.
