Упр.804 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ и $$H_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$D$$ и $$M$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда

$$DH \perp ABC,\qquad MH_1 \perp ABC.$$

Так как точки $$D$$ и $$M$$ лежат на одной прямой $$DB$$, а $$M$$ — середина ребра $$DB$$, то расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$ вдвое меньше расстояния от точки $$D$$ до этой плоскости. Значит,

$$MH_1=\frac{1}{2}DH.$$

Теперь рассмотрим тетраэдры $$ABCD$$ и $$ABCM$$. У них общее основание $$ABC$$, поэтому их объёмы выражаются формулами

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DH,$$

$$V_{ABCM}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot MH_1.$$

Подставим $$MH_1=\frac{1}{2}DH$$:

$$V_{ABCM}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot \frac{1}{2}DH=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DH=\frac{1}{2}V_{ABCD}.$$

Следовательно, тетраэдр $$ABCM$$ составляет половину объёма тетраэдра $$ABCD$$. Значит, плоскость $$ACM$$ делит тетраэдр на две части равного объёма.