Упр.803 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что объём тетраэдра равен 1/6 abc sin(?), где а и b — противоположные рёбра, а ? и с — соответственно угол и расстояние между ними.

Подробный ответ

Достроим тетраэдр до параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ так, чтобы

$$ABB_1A_1 \parallel CD_1,\quad BCC_1B_1 \parallel AD_1,\quad CDD_1C_1 \parallel AB,\quad ADD_1A_1 \parallel BC.$$

Тогда $$A_1B_1C_1D_1 \parallel ABCD$$, а угол между рёбрами $$AB$$ и $$CD_1$$ равен углу $$\angle A_1BA=\varphi$$. Кроме того, расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD_1$$ равно $$AD=c$$.

Рассмотрим грань $$ABB_1A_1$$. Так как $$A_1B$$ — диагональ прямоугольника $$AA_1BB_1$$, то площадь параллелограмма $$ABB_1A_1$$ равна удвоенной площади треугольника $$ABA_1$$:

$$ S_{ABB_1A_1}=2S_{ABA_1}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot BA_1\sin\angle ABA_1 =ab\sin\varphi. $$

Объём параллелепипеда:

$$V_{\text{парал}}=S_{ABB_1A_1}\cdot AD=abc\sin\varphi.$$

Тетраэдр составляет шестую часть параллелепипеда, поэтому

$$V_{\text{тетр}}=\frac{1}{6}V_{\text{парал}}=\frac{1}{6}abc\sin\varphi.$$

Что и требовалось доказать.