Упр.803 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что объём тетраэдра равен $$\frac{1}{6}abc\sin\alpha$$, где $$a$$ и $$b$$ — противоположные рёбра, а $$\alpha$$ и $$c$$ — соответственно угол и расстояние между ними.

Достроим тетраэдр $$ABCD_1$$ до параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ так, что

$$ABB_1A_1 \parallel CD_1,\quad BCC_1B_1 \parallel AD_1,\quad CDD_1C_1 \parallel AB,\quad ADD_1A_1 \parallel BC.$$

Тогда $$A_1B_1C_1D_1 \parallel ABCD$$, а значит, $$\angle A_1BA=\angle(AB,CD_1)=\varphi$$ и $$AD=p(AB,CD_1)=c$$.

Рассмотрим прямоугольник $$AA_1BB_1$$. Его диагональ $$A_1B$$ делит его на два равных треугольника, поэтому

$$S_{ABB_1A_1}=2S_{ABA_1}=2\cdot \frac12\cdot AB\cdot BA_1\sin\angle ABA_1.$$

Так как $$AB=a$$, $$BA_1=b$$ и $$\angle ABA_1=\varphi$$, то

$$S_{ABB_1A_1}=ab\sin\varphi.$$

Объём параллелепипеда равен

$$V_{\text{парал}}=S_{ABB_1A_1}\cdot AD=abc\sin\varphi.$$

С другой стороны, тетраэдр составляет шестую часть параллелепипеда, поэтому

$$V_{\text{тетр}}=\frac16V_{\text{парал}}=\frac16abc\sin\varphi.$$

Что и требовалось доказать.