Упр.802 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости AB_1C_1 и A_1BC разбивают треугольную призму ABCA_1B_1C_1 на четыре части. Найдите отношение объёмов этих частей.
Обозначим через $$V$$ объём всей треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$.
Так как призма треугольная, то $$A_1B=AB_1,\; A_1C=AC_1,\; B_1C_1=BC$$, значит треугольники $$\triangle A_1BC$$ и $$\triangle AB_1C_1$$ равны по трём сторонам.
Пусть $$M$$ и $$N$$ — точки пересечения плоскостей $$AB_1C_1$$ и $$A_1BC$$ с рёбрами соответствующих прямоугольников $$AA_1B_1B$$ и $$AA_1C_1C$$. Тогда отрезок $$MN$$ является средней линией треугольников $$\triangle A_1BC$$ и $$\triangle AB_1C_1$$.
Следовательно, $$MN \parallel BC$$ и $$MN=\frac12 BC$$.
Рассмотрим тетраэдр $$A_1ABC$$. Его объём равен
$$ V_{A_1ABC}=\frac13 S_{ABC}\cdot AA_1=\frac13 V. $$
Проведём $$AH\perp A_1BC$$. Тогда $$AH$$ — общая высота для тетраэдров $$A_1ABC$$ и $$A_1AMN$$, поэтому
$$ \frac{V_{A_1AMN}}{V_{A_1ABC}}=\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}. $$
Так как $$MN$$ — средняя линия треугольника $$A_1BC$$, то $$\triangle AMN \sim \triangle ABC$$ с коэффициентом подобия $$\frac12$$, а значит
$$ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14. $$
Тогда
$$ V_{A_1AMN}=\frac14 V_{A_1ABC}=\frac14\cdot \frac13V=\frac1{12}V. $$
Теперь найдём объём части, ограниченной плоскостями и содержащей тетраэдр $$A_1AMN$$. Получаем
$$ V_1=\frac1{12}V. $$
Часть, симметричная ей относительно соответствующих граней, имеет такой же объём:
$$ V_2=\frac14V. $$
Ещё одна часть равна объёму тетраэдра $$A_1ABC$$:
$$ V_3=\frac13V. $$
Оставшийся объём равен
$$ V_4=V-\frac1{12}V-\frac14V-\frac13V=\frac5{12}V. $$
Итак, объёмы четырёх частей относятся как
$$ \frac1{12}V:\frac14V:\frac13V:\frac5{12}V. $$
Ответ
$$\frac1{12}V:\frac14V:\frac13V:\frac5{12}V$$, где $$V$$ — объём призмы.