Упр.802 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1BC$$ разбивают треугольную призму $$ABCA_1B_1C_1$$ на четыре части. Найдите отношение объёмов этих частей.

Подробный ответ

Обозначим через $$V$$ объём всей призмы.

Плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1BC$$ пересекаются по прямой $$MN$$, где точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей прямоугольников $$AA_1BB_1$$ и $$AA_1CC_1$$ соответственно. Поэтому $$MN$$ — средняя линия треугольников $$A_1BC$$ и $$AB_1C_1$$.

Тогда треугольники $$A_1BC$$ и $$AB_1C_1$$ равны, а призма разбивается на четыре части с объёмами, которые найдём по очереди.

Пусть $$V_{A_1ABC}$$ — объём тетраэдра $$A_1ABC$$. Так как $$A_1ABC$$ имеет ту же высоту $$AA_1$$, что и призма, то

$$V_{A_1ABC}=\frac13 S_{ABC}\cdot AA_1=\frac13V.$$

Проведём $$AH\perp A_1BC$$. Тогда $$AH$$ — общая высота для тетраэдров $$A_1ABC$$ и $$A_1AMN$$. Поскольку $$MN$$ — средняя линия треугольника $$A_1BC$$, то

$$\frac{V_{A_1AMN}}{V_{A_1ABC}}=\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac14.$$

Следовательно,

$$V_{A_1AMN}=\frac14\cdot V_{A_1ABC}=\frac14\cdot \frac13V=\frac1{12}V.$$

Так как $$MN$$ делит призму на часть $$A_1B_1CMN$$ и две тетраэдрические части, то

$$V_{A_1B_1CMN}=V_{A_1B_1C_1MN}=\frac34\,V_{A_1ABC}=\frac14V.$$

Оставшийся объём равен

$$V_{BCB_1CMN}=V-\frac1{12}V-\frac14V-\frac14V=\frac5{12}V.$$

Итак, отношение объёмов четырёх частей равно

$$\frac1{12}V:\frac14V:\frac14V:\frac5{12}V.$$